Vaade, et ühe ja sama predikaadiga elementide hulgal on liikmeid või see hulk on tühi

Vaade, et ühe ja sama predikaadiga elementide hulgal on liikmeid või see hulk on tühi

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmise arusaama  hulkadest: elementide predikaadiga P hulk on tühi või on elementide predikaadiga P hulgal liikmeid.

Vaatame nüüd hulkade, mis ei kuulu endasse, hulka. Kui nende hulk ei ole tühi, siis tekib küsimus, kas sellesse hulka kuulub ka see hulk ise ja tekib paradoks. Seega on hulkade, mis ei kuulu endasse hulk tühi.

Vaatame nüüd selle, et elementide predikaadiga P hulk on tühi, võimalikke tähendusi. Üks vaaade on see, et kui see hulk on tühi, siis lihtsalt ei leidu elemente predikaadiga P. Teine võimalus on, ei leidu elemente predikaadiga P või on predikaat P ise mitte-standartne. See avab võimaluse, et saab moodustada hulgast erineva kollektsiooni, millega mõnedel elementidel, mille suhe predikaadiga P on keeruline, on suhe, mis erineb klassikalisest kollektsiooni kuuluvusest.  

Ebasümmeetria hulkade moodustamisel naiivses hulgateoorias ja ilma tühja hulgata hulgateooria

Ebasümmeetria hulkade moodustamisel naiivses hulgateoorias ja ilma tühja hulgata hulgateooria

Karmo Talts

 

Vaatame naiivset hulgateooriat. Hulkade moodustamist naiivses hulgateoorias iseloomustab teatav ebasümmeetria: kõigist objektidest saab moodustada hulga, samas saab moodustada hulga mitte ainult nendest hulkadest, millel on elemente, vaid ka tühja hulka saab kasutada hulkade moodustamisel.

Vaatame nüüd ilma tühja hulgata hulgateooriat. Iga predikaadi P puhul ei saa moodustada hulka elementidest predikaadiga P, sest predikaadi Q, mis ei rakendu ühelegi objektile, puhul ei saa moodustada hulka elementidest predikaadiga Q. 

Vaatame nüüd Russelli hulka. Me ei saa ilma vasturääkivuseta eeldada, et leidub hulkasid, mis ei kuulu endasse, sest siis leidub nende hulkade hulk, mis korraga kuulub ja ei kuulu endasse. Seega ei leidu hulkasid, mis ei kuulu endasse. 

Kahekohalised predikaadid ja hulkade moodustamine

Kahekohalised predikaadid ja hulkade moodustamine 

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmised hulkade moodustamise põhimõtteid: „iga kahekohalise predikaadi P ja mistahes elemendi x puhul saab moodustada hulga nendest x-idest, mis on predikaadis P(x,y) esimesel kohal” ja „iga kahekohalise predikaadi P ja mistahes elemendi y puhul saab moodustada hulga nendest y-itest, mis on predikaadis P(x,y) teisel kohal” ja „iga kahekohalise predikaadi P ja mistahes järjestatud elementide paari (x,y) puhul saab moodustada hulga nendest (x,y)-iteest, mille esimesel liikmel on predikaadi P väljendatud suhe paari teise liikmega..

Vaatame nüüd enesesse kuuluvaid hulkasid. Kui hulk x kuulub endasse, siis x kuulub hulkade, mis kuuluvad x-i, hulka ja hulkade, mille elemendiks on x, hulka ja järjestatud paar (x,x) kuulub nende järjestatud paaride, mille esimesel liikmel on suhe Kuulub paari teise liikmega. hulka.

Vaatame nüüd enesesse mitte kuuluvaid hulkasid. Kui hulk x ei kuulu endasse, siis x kuulub hulkade, mis ei kuulu x-i, hulka ja hulkade, mille elemendiks pole x, hulka ja ja järjestatud paar (x,x) kuulub nende järjestatud paaride, mille esimesel liikmel on suhe Ei kuulu paari teise liikmega, hulka.

Väide „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus y-ist terast saab moodustada kuhja” ja soriitide paradoks

Väide „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus y-ist terast saab moodustada kuhja” ja soriitide paradoks

Karmo Talts

 

Vaatame, millised x-i ja y-i väärtused rahuldavad järgmist väidet „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus y-ist terast saab moodustada kuhja”. See on sattumuslik, sest see sõltub x-i ja y-i suurusest.

Vaatame nüüd selle tähendust väite „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus ühest terast saab moodustada kuhja”. See on samuti sattumuslik, sest kuigi väike erinevus terade arvus mõjutab vähem meie võimalust neist kuhja moodustada, kui suurem erinevus, ei kehti väide „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus ühest terast saab moodustada kuhja” x-i väikeste väärtuste korral.

Soriitide paradoks ja objektide piisav sarnasus selleks, et neil oleks sama predikaat

Soriitide paradoks ja objektide piisav sarnasus selleks, et neil oleks sama predikaat 

Karmo Talts

 

Tõlgendame soriitide eeldust nii: kui x-l on predikaat P ja y on x-iga piisavalt sarnane, siis y-il on predikaat P.

Vaatame nüüd, kuidas soriidid tõlgendavad piisavat sarnasust. Soriidid tõlgendavad seda kvantitiivselt: kui kahe objekti osade arv on sarnane, siis on kaks objekti piisavalt sarnased selleks, et neil oleks samad predikaadid. Kui sellest, et objektide osade arv on sarnane, ei piisa selleks, et neil oleks ka muud sarnased predikaadid, siis soriidid eksivad.

Ebamäärasus ning piisavad ja tarvilikud tingimused

Ebamäärasus ning piisavad ja tarvilikud tingimused  

Karmo Talts

 

Vaatame ebamäärasust piisavate ja tarvilike tingimuste eristuste seisukohast. Kui see, millal täpselt on juba nii, et P, on ebamäärane, siis pole selge see, millised on P piisavad tingimused, selged on aga mõned P tarvilikud tingimused. Näiteks katab null juuksekarva null protsenti peast, seega on tarvis, et mitte-kiilal inimesel oleks vähemalt üks juuksekarv, null tera moodustab null objekti, null kuhja seal hulgas, seega on kuhja moodustamiseks tarvis vähemalt ühte tera jne.

Vaatame nüüd selle tähendust väikeste muudatuste jaoks. Kui P-st piisab selleks, et Q, siis juhul, kui olukord sellega, et P, võrreldes veidi muutub, aga kõik teised tingimused jäävad samaks, siis Q. Näiteks juhul, kui eemaldada mitte-kiila inimeste peast juuksekarv ja jääb samaks tingimus „ei ole nii, et peas on vähe juuksekarvu”, siis inimene ei muutu kiilaks.

Võimalus teri erinevalt paigutada ja soriitide paradoks

Võimalus teri erinevalt paigutada ja soriitide paradoks 

Karmo Talts

 

Võtame soriitide paradoksi puhul arvesse seda, et sama terade hulk ei pruugi moodustada kuhja juhul, kui terad on erinevalt paigutatud. Seega ütleb soriitide eeldus, et kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis saab x miinus ühest terast moodustada kuhja.

Vaatame nüüd mitmest terast saab moodustada kuhja. Kui ei piisa sellest, et üks tera toetub teise peale, siis tekib küll ebamäärasus selle suhtes, mitut tera täpselt vaja läheb, selge on aga see, et vähem kui kahest terast ei saa moodustada hulka, sest kuigi pole selge, millal täpselt me oleme moodustanud kuhja, on selge, et kui mitte ükski terade hulk ei toetu teise terade hulga peale, siis puudub mitu terade kihti, kuhjast rääkimata. Kui piisab sellest, et üks tera toetub teise peale, siis on kuhja moodustamiseks mitte ainult tarvis vähemalt kahte tera, vaid nende õige paigutamise korral ka piisab vähemalt kahest terast kuhja moodustamiseks.

Võrduste ja võrratuste käsitlemine tingimuslausetena ja matemaatika rakendatavus

Võrduste ja võrratuste käsitlemine tingimuslausetena ja matemaatika rakendatavus 

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi mõista võrdusi ja võrratusi tingimuslausetena. Sel juhul ütleb võrdus „x võrdub y-iga”, et kui leiduks x objekti siis leiduks y objekti ja võrdus, mille puhul üks võrduse pool on avaldis, ütleb, et kui leiduks sobival arvul objekte, millega sooritatakse avaldises olevad tehted, siis saadaks objekte arvul y.

Vaatame nüüd, mis on sellise vaate voorused. See seletab, miks matemaatika on rakendatav: kui tingimuslause on tõene, siis on ka selle tingimuslause võrduse või võrratusena kirja pandud kuju tõene ja kui tingimuslause on väär, on ka selle matemaatiline kuju väär.

Võimalus, et avaldist ei leidu, ja nulliga jagamine

Võimalus, et avaldist ei leidu, ja nulliga jagamine

Karmo Talts

 

Vaatame selle, et arv või avaldis x võrdub arvu või avaldisega y, eitamist. Tavaliselt me eeldame, et x võrdub sel juhul mingi teise arvu või avaldisega, mitte y-iga.

Vaatame nüüd võimalust, et väide „x ei võrdu y-iga” ei ütle midagi selle kohta, kas leidub x. See tähendab, et kui ei leidu y-it, millega avaldis „x jagatud nulliga” võrdub, siis ei pruugi leiduda ka avaldist „x jagatud nulliga”.

Vaatame nüüd, kuidas on juhul, kui me saame kirja panna või mõelda, et me jagame x-i nulliga, võimalik see, et ei leidu avaldist „x jagatud nulliga”. Üks neist on matemaatiline realism: mõtted ja väited matemaatiliste objektide kohta ei pruugi vastata tegelikkusele. Teine on võrduste ja võrrandite käsitlemine tingimuslausetena. Sel juhul ütleb „x võrdub y-iga” seda, et kui leidub x, siis on see võrdne y-iga.

Väidete hulkade moodustamine ja väidetest tulenevad järeldused

Väidete hulkade moodustamine ja väidetest tulenevad järeldused 

Karmo Talts

 

Vaatame väiteid naiivse hulkade moodustamise põhimõte seisukohast. Kõigist väidetest saab moodustada hulga ja sellel hulgal on erineva tõeväärtusega väidete alamhulgad.

Vaatame nüüd vähem naiivset lähenemist väidetest hulkade moodustamisele. Kui leidub hulki, mille kõik liikmed on väited, siis neil hulkadel on alamhulgad, mille liikmetel on ühine tõeväärtus.

Vaatame nüüd väidet P, mis kuulub mõnda väidete hulka, mille kõik liikmed on tõesed. Hulka, millesse P kuulub, saab kasutada eelduste hulgana. Igast sellesse eelduste hulka kuuluvast väitest, P-st nende hulgas, järeldub vähemalt üks tõene järeldus.

Vaatame nüüd väidet P, mis kuulub mõnda väidete hulka, mille kõik liikmed on väärad. Igast sellesse väidete hulka kuuluvast väitest, P-st nende hulgas, järeldub vähemalt üks väär järeldus.

Vaatame nüüd väidet P, mida ei saa kasutada hulkade moodustamisel. See ei kuulu ühtegi väidete hulka ja seega ei kuulu see ka ühtegi väidete hulka, mida saaks kasutada eelduste hulgana. Seega ei saa P-st järeldusi teha.

Naiivse hulkade moodustamise põhimõtte kontrapositsioon ja reaalselt eksisteerivate predikaatide defineerimine

Naiivse hulkade moodustamise põhimõtte kontrapositsioon ja  reaalselt eksisteerivate predikaatide defineerimine

Karmo Talts

 

Vaatame naiivset hulkade moodustamise skeemi ja selle kontrapositsiooni. Kui P on predikaat, siis saab elementidest, millel on P, moodustada hulga. Seega siis, kui elementidest, millel on P, ei saa moodustada hulka, pole P predikaat.

Vaatame nüüd, kuidas on võimalik, et mõnesid predikaate, mille me defineerime, ei eksisteeri. Selleks, et definitsioon määratleks tõelise predikaadi, peab definitsioon väljendama kooskõlaliselt mõeldavat kontseptsiooni ja kontseptsioon on kooskõlaliselt mõeldav siis, kui on võimalik moodustada hulk, millesse kuuluvad kõik elemendid, mille kohta kontseptsioon käib.

Objektid, mille puhul me teame, millised predikaadid neile kuuluvad, ja hulkade moodustamine

Objektid, mille puhul me teame, millised predikaadid neile kuuluvad, ja hulkade moodustamine 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise arusaama hulkade moodustamisest: iga predikaadi P puhul on võimalik moodustada hulk nendest elementidest predikaadiga P, millest me teame, et neil on predikaat P.
Vaatame nüüd hulkasid, mis ei kuulu endasse. Kõigi hulkade, mis ei kuulu endasse, asemel saame me moodustada hulga nendest hulkadest, mis ei kuulu endasse, millest me teame, et need ei kuulu endasse. Selle hulga enda puhul on kolm võimalust, me kas teame seda, et ta kuulub endasse või me teame, et ta ei kuulu endasse või me ei tea kumbagi. Esimesel kahel juhul saame me seda hulka kasutada hulga elemendina ja viimasel juhul me ei saa seda hulka kasutada hulga elemendina.

Vaatame nüüd, milline analoogia leidub andmebaaside ja inimeste poolt mõttes moodustatud hulkada vahel. Iga predikaadi P puhul on võimalik kanda andmebaasi andmed nende elemendte predikaadiga P kohta, millest me teame, et neil on predikaat P.

Predikaadid, avatud hulgad ja suletud hulgad

Predikaadid, avatud hulgad ja suletud hulgad 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise hulkade moodustamise põhimõtte: iga predikaadi P puhul saab moodustada suletud hulga, kuhu kuuluvad kõik elemendid predikaadiga P või saab moodustada avatud hulga nii, et iga elemendi puhul predikaadiga P kuulub see element sellesse avatud hulka või kuulub see element selle avatud hulga piirhulka.
Vaatame nüüd hulkasid, mis ei kuulu endasse. Neist ei saa moodustada suletud hulka, sest siis see peaks kuuluma endasse, kui see ei kuulu endasse ja vastupidi.
Vaatame nüüd avatud hulka. Avatud hulk, kus on mingi osa neist hulkadest, mis endasse ei kuulu, ei kuulu endasse siis, kui ta kuulub enda piirhulka ja ta kuulub endasse siis, kui ta endasse ei kuulu. Seega ta kuulub enda piirhulka. Selle avatud hulga piirhulk ei kuulu endasse siis, kui ta kuulub hulka, mille piirhulgaks ta on ja ta kuulub endasse, kui ta ei kuulu endasse. Seega see piirhulk kuulub hulka, mille piirhulgaks ta on. 

Väite "null võrdub nulliga" paratamatu tõesus, tõe definitsioon ja paradoksid

Väite "null võrdub nulliga" paratamatu tõesus, tõe definitsioon ja paradoksid

Karmo Talts 

 

Võtame tõe defineerimisel arvesse seda, et arv null paratamatult võrdub nulliga. P on väär parajasti siis siis, kui pole nii, et P või P-st järeldub, et null ei võrdu nulliga. P on tõene parajasti siis, kui P ja P-st ei järeldu, et null võrdub nulliga.

Vaatame nüüd valetaja paradoksi. Kui valetajalause on tõene, siis ta on väär ja valetajalausest ei järeldu, et null võrdub nulliga. Kuna see, et valetajalause on korraga tõene ja väär, on vasturääkivus ja vasturääkivusest järeldub suvaline järeldus, kaasa arvatud järeldus, et null ei võrdu nulliga, siis eeldusest, et valetajalause on tõene, järeldub, et null korraga on võrdne nulliga ja pole võrdne nulliga.

Vaatame nüüd võimalust, et valetajalause on väär. Kui valetajalause on väär, siis ta pole väär või valetajalausest järeldub, et null ei võrdu nulliga. Kuna disjunktisooni ühe osaväite tõesusest piisab selleks, et disjunktsioon oleks tõene, siis sellest, et valetajalausest järeldub, et null ei võrdu nulliga, piisab selleks, et valetajalause on väär. 

Vaatame nüüd Nelson Grellingi paradoksi. Kui heteroloogilisuse mõiste on korraga hetereloogiline ja autoloogiline, siis ta on korraga null hetereloogilist mõistet ja üks heteroloogiline mõiste ja null autoloogilist mõistet ja üks autoloogiline mõiste. Seega järeldub nii väitest, et hetereloogilisuse mõiste on heteroloogiline, kui ka väitest, et hetereoloogilisuse mõiste on autoloogiline, et null võrdub ühega ja seega ka, et null ei võrdu nulliga ja seega on mõlemad väited väärad. 

Vaatame nüüd hulkade moodutamist. Kui Russeli hulk korraga kuulub endasse ja ei kuulu endasse, siis ta on korraga null endasse kuuluvat hulka ja üks endasse kuuluv hulk ja null endasse mitte kuuluvat hulka ja üks endasse mitte kuuluv hulk. Seega on nii väide, et ta kuulub endasse, kui ka väide, et ta ei kuulu endasse väärad. 

Soriitide paradoks, y-i väärtused, mille lahutamisel juustekarvade arvust x inimene hakkab olema kiilas ja x-i enda väärtus

Soriitide paradoks, y-i väärtused, mille lahutamisel juustekarvade arvust x inimene hakkab olema kiilas ja x-i enda väärtus   

Karmo Talts

Vaatame soriitide paradoksi sellest seisukohast, mis tuleneb sellest, et kui x-i juuksekarvaga inimene pole kiilas, siis pole x minus ühe juuksekarvaga inimene kiilas. Siis pole x minus kahe juuksekarvaga inimene kiilas, pole x minus kolme juuksekarvaga inimene kiilas jne., ilma et leiduks ühtegi y-i väärtust, mille puhul väide "x-y juuksekarvaga inimene pole kiilas" on väär.
Vaatame nüüd y-i väärtuste, mille puhul väide "x-y juuksekarvaga inimene pole kiilas" on väär, küsimust. Kuigi pole selge, mis on kõige madalam selline y-i väärtus, siis on selge, kui y võrdub x-iga, siis on see väide väär.
Vaatame nüüd selle tähendust, et x-i väärtus on oluline. Vähemalt osa soriitide paradoksiga seotud ebamäärasusest tuleb sellest, et meil pole konkreetset algväärtust, mille puhul kiilaspäisusega seotud soriitide väide tõene on. 

Eituse abita defineeritud hulgad ja hulkade moodustamine elementidest, mille elementidel on negatiivne predikaat

Eituse abita defineeritud hulgad ja hulkade moodustamine elementidest, mille elementidel on negatiivne predikaat

Karmo Talts

 

Üks viis hulgateoreeritili paradokse vältida on lubada hulkade moodustamist elementidest, millel on eituse abita defineeritud predikaat. Vaatame, kas siis kui me oleme konstrueerinud hulgad elementidest, mille elementide ühine predikaat on defineeritud eituse abita, saab hakata piiratud kujul kasutusele võtma hulki, mille liikmetel on negatiivsed predikaadid. Me ei luba negatiivse predikaadiga mitte-P elementidest hulkade moodustamist  mitte positiivsetest hulkadest sõltumatult, vaid nii: kui x on kõigi elementide, millel on eituse abita defineeritud predikaat P, hulk, siis elemendid, mis x-i ei kuulu, kuuluvad hulka, mille elementidel on predikaat mitte-P.
Vaatame nüüd seda hulka. See ei ole moodustatud kõigist objektidest, millel on negatiivne predikaat mitte-P, vaid see on kõigi elementide, millel on positiivne predikaat P, hulga täiend. Seega iga positiivse predikaadi P puhul leidub hulga, millesse kuuluvad kõik elemendid predikaadiga P, täiend, mille elementidel on predikaat mitte-P. 

Soriitide paradoks ning osade ja tervikute eristus

Soriitide paradoks ning osade ja tervikute eristus  

Karmo Talts

Vaatame soriitide paradoksi hulkade seisukohast. Kui x-i elementi sisaldav kollektsioon on hulk, siis x miinus ühte elementi sisaldav kollektsioon on hulk.
Vaatame nüüd, mida muudab predikaatide mängu toomine. Kuigi formaalselt on ilma juusteta inimese juustekarvade hulk tühi ja me isegi ütleme, et tal on null juuksekarva, siis juusteta inimene ise ei ole tühi hulk, vaid tervik, mille osadeks ei ole juuksekarvad.
Vaatame nüüd, mida see muudab, kui me toome mängu tervikud. Kuigi leidub tervikuid, mille pärisosade hulk on tühi, siis ei leidu tervikuid, mille osade hulk on tühi. Väide "kui x-ist osast koosnev objekt on tervik, siis x miinus ühest osasat koosnev objekt on tervik" on absurdne, sest kui pole ühtegi osa, pole ka ühtegi tervikut.   

Võimsa formaalse süsteemi väidete alamhulk, mis sisaldab ainult Gödeli lauset, ja selle süsteemi väidete teised alamhulgad

Võimsa formaalse süsteemi väidete alamhulk, mis sisaldab ainult Gödeli lauset, ja selle süsteemi väidete teised alamhulgad 

Karmo Talts

Vaatame formaalseid süsteeme, mis on piisavalt võimsad aritmeetika kodeerimiseks. Sellise süsteemi väidete hulgal on alamhulk, mille ainus element on väide "see väide pole formaalsete vahenditega tõestatav". Selle hulga elementideks olevad väited pole formaalsete vahenditega tõestatavad või selle hulga elementideks olevad väited on vasturääkivad.
Vaatame nüüd selle tähendust. Mittetäielikkuse teoreem ei tõesta, et formaalse süsteemi, mis on piisavalt võimas aritmeetika kodeerimiseks, väidete hulga vähemalt üks alamhulk, mis pole ülal mainitud hulk, sisaldab vähemalt ühte väidet, mis pole kas tõestatav või on vasturääkiv.
  

Kahte liiki paratamatus ja olemuste küsimus

Kahte liiki paratamatus ja olemuste küsimus 

Karmo Talts

 

Vaatame kahte liiki paratamatust. Kindlas tähenduses kasutatud kontseptsioon P ei saa tegelikust maailmast mitte välja noppida neid objekte, mida P osutab, sest vastasel juhul kasutataks P-d teises tähenduses. Kui mitte-kontseptsioonil x on teatud omadused ja x-i omadused ei saa muutuda, siis on need x-i omadused paratamatud. (Aga mitte paratamatult paratamatud, sest siis kui maailm muutuks nii, et x-i omadused edaspidi saaksid muutuda, siis poleks enam paratamatu, et x-il on need omadused.)
Vaatame nüüd selle tähendust olemuste küsimuse jaoks. Kuigi arv kaheksa on paratamatult suurem seitsmest ja pole paratamatu, et arv kaheksa on planeetide arv, siis pole asi mitte selles, et arvul kaheksa oleks olemuslikud omadused ja sattumuslikud omadused, vaid selles, et me oleme arvu kaheksa defineerinud teatud viisil, planeetide arv aga on juhtumisi selline, et praegu kõlbab selle kirjeldamiseks teatud viisil defineeritud arv kaheksa. 

Kollektsioonid ja predikaadid

Kollektsioonid ja predikaadid 

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmise kollektsioonide moodustamise põhimõte: kõigist elementidest, mis pole kollektsioonid, saab moodustada kollektsiooni.
Vaatame nüüd, mida see tähendab predikaatide jaoks. Iga predikaadi P puhul, mida pole ühelgi kollektsioonil, saab moodustada kollektsiooni elementidest predikaadiga P.
Sõnastame nüüd kollektsioonidest kollektsioonide moodustamise põhimõtte: iga predikaadi P puhul, mis on kollektsioonidel, mida on võimalik moodustada, saab moodustada kollektsiooni  elementidest predikaadiga P.
Vaatame nüüd kollektsioonidest kollektsioonide moodustamist praktikas. Kui me oleme moodustanud kollektsiooni elementidest predikaadiga P, mida pole ühelgi kollektsioonil, siis on võimalik seda kollektsiooni moodustada. Sellel kollektsioonil on predikaat "on moodustatud elementidest predikaadiga P". Seega on võimalik moodustada kollektsioon kollektsioonidest, mis on moodustatud elementidest predikaadiga P Seda kollektsiooni on võimalik moodustada. Seega on võimalik moodustada ka kollektsiooni kollektsioonidest, mis on moodustatud kollektsioonidest, mis on moodustatud elementidest predikaadiga P. Jne.