Lõpetatud ja lõpetamata predikaatide eristus ning Nelson Grellingi paradoks

Lõpetatud ja lõpetamata predikaatide eristus ning Nelson Grellingi paradoks

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust, et predikaat saab olla lõpetatud ja lõpetamata, selle jaoks, mille kohta predikaat käib. Kui lõpetamata predikaat käiks millegi kohta, siis ta poleks lõpetamata. Seega käib õigesti lõpetatud predikaat objekti või objektide kohta, millega predikaat on õigesti lõpetatud.

Vaatame nüüd Nelson Gellingi paradoksi. Kui predikaadi P( ) puhul on üks viis õigesti lõpetada predikaati P(P), siis see predikaadi lõpetamise viis on autoloogiline. Kui predikaadi ¬P( ) puhul on üks õige viis lõpetada predikaati ¬P(P), siis on see predikaadi lõpetamise viis heteroloogiline. Heteroloogilisuse predikaadi puhul oleks predikaat H(H) juhul, kui predikaati H( ) oleks õige lõpetada H-ga, ühtlasi autoloogiline ja heteroloogiline ja predikaat ¬H(H) juhul, kui predikaati ¬H( ) oleks õige lõpetada H-ga, on ühtlasi heteroloogiline ja autoloogiline.

Vaatame nüüd, kuidas paradoksi vältida. Nii predikaati H( ), kui ka predikaati ¬H( ) ei ole õige lõpetada H-ga. 

Vaatame nüüd selle tähendust. Välistatud kolmanda seadus kujul "iga predikaadi P ja objekti x puhul x-iga saab õigesti lõpetada predikaadi P( ) või saab x-iga õigesti lõpetada predikaadi ¬P( )" ei kehti. 

Predikaadid „rakendub esimese järgu objektile” ja „rakendub predikaadile”

Predikaadid „rakendub esimese järgu objektile” ja „rakendub predikaadile” 

Karmo Talts

 

Eristame predikaadid „rakendub esimese järgu objektile” ja „rakendub predikaadile”.

Vaatame nüüd lihtsat näidet nende kahe predikaadi suhetest. Kui P rakendub esimese järgu objektile x, siis P-le rakendub predikaat „rakendub esimese järgu objektile”, kus objekti millele P rakendub, kohta täidab x.

Vaatame nüüd, mida see tähendab lihtsate juhtude tingimuste jaoks. See, et P rakendub esimese järgu objektile või objektidele, on lihtsatel juhtudel selle, et P-le rakendub asjassepuutuv predikaat Q, tarvilik tingimus.

Vaatame nüüd lähenemist, mille järgi alati siis, kui P-le rakendub predikaat Q, leidub vähemalt üks objekt x, millele rakendub predikaat R. Kolmanda järgu predikaadid on vahend sellest rääkimiseks, millistele esimese järgu objektidele esimese/teise järgu predikaadid rakenduvad. Neljanda järgu predikaadid on vahend sellest rääkimiseks, millistele esimese/teise järgu predikaatidele kolmanda järgu predikaadid rakenduvad. Jne.

Predikaadi rakendumise ebasümmeetrilisus ja enesele viitamine

Predikaadi rakendumise ebasümmeetrilisus ja enesele viitamine 

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust, et kui predikaat P rakendub Q-le, siis ei pruugi Q rakenduda P-le, P rakendumise jaoks P-le. Kui P esimene esinemisjuht rakendub teisele P esinemisjuhule, siis ei pruugi P teine esinemisjuht rakenduda esimesele P esinemisjuhule.

Vaatame nüüd selle tähendust eneseleviitamise piiride jaoks. Mõiste või väite esinemisjuht ei saa käia vahetult selle mõiste või väite tüübi kohta, mis tüüpi mõiste või väite esinemisjuhuga tegu on. Konkreetne mõiste või väite esinemisjuht saab käia ainult teiste sama mõiste või väite esinemisjuhtude kohta, mitte iseenda kohta.

Hulkadega samastatavad predikaadid ja predikaatidele rakenduvad predikaadid

Hulkadega samastatavad predikaadid ja predikaatidele rakenduvad predikaadid 

Karmo Talts

 

Vaatame mõnede predikaatide samastamist hulkadega tähendust. Nendele predikaatidel rakenduvad predikaadid on klassid, neile rakenduvad predikaadid klasside kollektsioonid jne.

Vaatame nüüd selle tähendust predikaatide kasutusele võtmise jaoks Predikaate on võimalik võtta kasutusele mitte-predikaatide kirjeldamiseks, hulkadega samastatavate predikaatide kirjeldamiseks, klasside samastatavate predikaatide kirjeldamiseks jne.

Objektid, predikaadid ja selle kriteeriumid, kas objektil on mingi predikaat

Objektid, predikaadid ja selle kriteeriumid, kas objektil on mingi predikaat

Karmo Talts

 

Vaatame objektide, predikaatide ja selle kriteeriumite, kas objektil on mingi predikaat küsimust. Iga predikaadi P ja iga objekti x puhul on meil kriteeriumid selle kindlaks tegemiseks, kas x-il on P või meil puuduvad kriteeriumid selle kindlaks tegemiseks, kas x-il on P.

Vaatame nüüd selle tähendust väidete tõeväärtuste jaoks. Kui iga objekti x, millest väide P räägib, puhul on olemas kriteeriumid selle kindlaks tegemiseks, kas x-l on need predikaadid, mida P x-ile omistab, siis P-l on tõeväärtus.

Uskumuste üldisuse aste ja Gettieri probleemid

Uskumuste üldisuse aste ja Gettieri probleemid 

Karmo Talts

 

Teeme vahet üldiste, vähem üldiste ja konkreetsete objektide kohta käivate uskumuse kohta. Üldine uskumus käib kõigi asjassepuutuvate objektide, vähem üldine uskumus vähemalt ühe asjassepuutuva objekti ja konkreetne uskumus ühe konkreetse objekti kohta.

Vaatame nüüd Gettieri näiteid. Smithi uskumus, et mehel, kes saab töö, on mündid taskus, ei ole uskumus konkreetse mehe kohta, sest konkreetse mehe kohta käiv uskumus on hoopis Smithi uskumus, et Jones saab töö ja Jonesil on mündid taskus. See viimane uskumus on väär, sest kuigi Jonesil on mündid taskus, ei saa Jones tööd.

Sõnastame nüüd täiendava tingimuse vähem üldise uskumuse ja teadmise seoste kohta. Kui x usub tõest vähem üldist uskumust P, tema uskumused selle kohta, millise konkreetse objekti või milliste konkreetsete objektide kohta P just käib, on tõesed ja kõik eelpoolmainitud uskumuste omamiseks on x-il põhjendus, siis on x-il teadmine, et P.

Predikaatide esinemijuhud paradoksaalsete predikaatide definitsioonides ja paradoksi korral tekivatest ekvivalentsus-tehetes

Predikaatide esinemijuhud paradoksaalsete predikaatide definitsioonides ja paradoksi korral tekivatest ekvivalentsus-tehetes

Karmo Talts

 

Tähistame X-i esinemisjuhu valetajalause definitsiooni „X on defineeritud „X on väära-na”" vasakul poolel X1-ga ja X-i esinemisjuhtu definitsiooni paremal poolel X2-ga.

Vaatame nüüd, kas X1 on ekvivalentne X2-ga. See eeldus viib vasturääkivuseni. Seega pole X1 ja X2 ekvivalentsed. Seega kasutab valetajalause definitsioon X-i kahe erineva tõeväärtusega väite tähistamiseks ja rikub identsusseadust.

Vaatame nüüd rohkem kui nullkohalisi predikaate. Paradoksaalsel juhul siis, kui predikaat P on defineeritud predikaadina Q, leidub x, mille puhul P(x,...) on ekvivalentne P(x,...) eitusega. Kui me tähistame P esinemisjuhu ekvivalentsus-tehte vasakul poolel P1-ga ja P esinemisjuhu tehte paremal poolel P2-ga, siis tuleb välja, et P1 pole ekvivalentne P2-ga, sest vastasel juhul on kumbki P esinemisjuht ekvivalentne iseenda eitusega. Seega sellistel paradoksaalsetel juhtudel kasutavad predikaadi definitsioonid ühte ja sama märki varjatult erinevate predikaatide tähistamiseks ja rikuvad samuti identsusseadust.

Võimalus tegelikku maailma kirjeldada moonutatult ja väita midagi, mis üldse ei kirjelda tegelikku maailma ning tõeväärtused

Võimalus tegelikku maailma kirjeldada moonutatult ja võimalus väita midagi, mis üldse ei kirjelda tegelikku maailma ning tõeväärtused

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust võimalike loogikate jaoks, et väär väide võib maailma kirjeldada moonutatult või üldse mitte maailma kirjeldada. On võimalik luua loogika, kus väide P kirjeldab maailma adekvaatselt või P kirjeldab maailma moonutatult või P ei kirjelda maailma.

Vaatame nüüd millal eksistentsiväide kirjeldab maailma moonutatult. Kui väide P ütleb, et leidub x, millel on predikaadid Q, R... ja leidub x, millel on vähemalt üks neist predikaatidest ja puudub vähemalt üks neist predikaatidest, siis kirjeldab eksistentsiväide maailma moonutatult.

Vaatame nüüd millal eksistentsiväide ei kirjelda maailma. Kui väide P ütleb, et leidub objekt x, millel on predikaadid Q, R... ja tegelikult ei leidu x-i, millel on vähemalt üks neist predikaatidest, siis P ei kirjelda maailma.

Vaatame nüüd millal üldine väide kirjeldab maailma moonutatult. Kui väide P ütleb, et igal objektil x on predikaadid Q, R.. ja tegelikult igal x-il on vähemalt üks neist predikaatidest ja puudub vähemalt üks neist predikaatidest, siis kirjeldab P maailma moonutatult.

Vaatame nüüd millal üldine väide ei kirjelda maailma. Kui väide P ütleb, et leidub objekt x, millel on predikaadid Q, R... ja tegelikult igal x-il puuduvad kõik need predikaadid , siis P ei kirjelda maailma.

Vaatame nüüd tõestamist. Tegelikkust adekvaatselt kirjeldav eeldus tõestab vähemalt ühe tegelikkust adekvaatselt kirjeldava järelduse, tegelikkust moonutatult kirjeldav eeldus tõestab vähemalt ühe tegelikkust moonutatult kirjeldava järelduse ja eeldus, mis ei kirjelda tegelikkust, tõestab vähemalt ühe järelduse, mis ei kirjelda tegelikkust.

Vaatame nüüd, kas tegelikkust moonutavad järeldused tõestavad väärasid järeldusi. Kuna mitme predikaadi omistatavatusest rääkivatest eeldustest on võimalik teha järeldusi selle kohta, kuidas on lood ühe predikaadi omistatavusega ja ühte predikaati omistatavusest rääkivad väited kas kirjeldavad tegelikkust või ei kirjelda seda, siis järeldub tegelikkust moonutavatest eeldustest ka järeldusi, mis ei kirjelda tegelikkust

Vaatame nüüd teaduslikke teooriaid. Erinevad tegelikkust moonutavad teooriad tõestavad erineva hulga tegelikkust adekvaatselt kirjeldavaid järeldusi ja tõestavad erineva hulga tegelikkust moonutavaid järeldusi ja tõestavad erineva hulga järeldusi, mis ei kirjelda tegelikkust. Seega on tegelikkust moonutavatel teooriatel erinev kvaliteet.

Tõeväärtuseta väited ja tõeväärtuslike objektide küsimus

Tõeväärtuseta väited ja tõeväärtuslike objektide küsimus

Karmo Talts

 

Vaatame, mida see tähendab tõeväärtuslike objektide jaoks, kui leidub ilma tõeväärtuseta väiteid. Tõeväärtuslik objektide hulk ja väidete hulk ei lange kokku.

Vaatame nüüd selle tähendust loogika jaoks. Muutujatega ei saa asendada mitte väiteid, vaid tõeväärtuslikke objekte.

Vaatame nüüd suhet tõeväärtuslike objekti eksistentsi ja tõeväärtuslike objektide muutujate suhet. Kui leidub vähemalt üks objekt x, mis on tõeväärtuslik, siis konkreetne objekt a on tõeväärtuslik. Kui a on tõeväärtuslik, siis saab a asendada tõeväärtusliku objekti muutujaga P.

Vaatame nüüd konkreetse tõeväärtusega objekti eksistentsi ja tõeväärtuslike objektide muutujate suhet. Kui leidub vähemalt üks x tõeväärtusega P, siis konkreetsel objektil a on tõeväärtus P. Kui a-l on tõeväärtus P, siis saab a asendada tõeväärtusliku objekti muutujaga Q ja omistada Q-le tõeväärtuspredikaat P, mis on a-l.

Tõeskeem ning esimese ja kõrgema järgu loogika

Tõeskeem ning esimese ja kõrgema järgu loogika 

Karmo Talts

 

Sõnastame ettevaatlikuma arusaama tõeskeemist: esimese või kõrgema järgu loogika väide on tõene parajasti siis, kui on nii, nagu see väide ütleb. Kui tavakeele lause väljendab väidet, mis on tõene parajasti siis, kui on nii, nagu see väide ütleb, siis on tavakeele lause poolt väljendatav väide analüüsitav esimese või kõrgema järgu loogika abil

Vaatame nüüd selle tähendust lausearvutuse jaoks. Lausemuutuja asendab tõest väidet või lausemuutuja asendab väära väidet või lausemuutuja ei asenda väidet, mis on analüüsitav esimese või kõrgema järgu loogika abil.

Paradoksid ja predikaadid, mida pole võimalik lõpuni sõnastada

Paradoksid ja predikaadid, mida pole võimalik lõpuni sõnastada

Karmo Talts

Vaatame Nelson Grellingi paradoksi kõrgema järgu loogikate seisukohast. Kui ma asendame predikaadis Heteroloogiline(P) P predikaadiga Heteroloogiline(P), siis me saame predikaadi Heteroloogiline(Heteroloogiline(P)), selles P asendamisel predikaadiga Heteroloogiline(P) predikaadi Heteroloogiline(Heteroloogiline(Heteroloogiline(P)) jne. St., et meil ei õnnestu predikaadi, mida arutlustes kasutada, lõpuni sõnastamine.
Vaatame nüüd valetajalauset. Kui me asendame predikaadis Väär(X) X-i Väär(X)-iga, siis me saame predikaadi Väär(Väär(X)). Kui me asendame predikaadis Väär(Väär(X)) X-i  Väär(X)-iga, siis me saame predikaadi  Väär(Väär(Väär(Väär(X)))) jne. St., et meil ei õnnestu predikaadi, mida arutlustes kasutada, lõpuni sõnastamine.

Frege mõistatus ja nimed

Frege mõistatus ja nimed

Karmo Talts

 

Vaatame Frege mõistatust sellest seisukohast, et "Ehatäht" ja "Koidutäht" on erinevad nimed. Avastus seisnes selles, et need nimed käivad ühe ja sama objekti kohta.

Vaatame nüüd selle tähendust selle avastuse väljendamise jaoks predikaatloogikas. Ühekohaliste predikaatide Ehatäht(x) ja Koidutäht(y) ja identsusväite x=y abil ei saa seda avastust edasi anda, sest me räägime lisaks objektile nimedest. Seega on selle avastuse edasi andmiseks vaja kahekohalisi predikaate Käib kohta (Nimi "Koidutäht", x) ja Käib kohta (Nimi "Ehatäht, y) ja identsusväidet x=y

Negatiivsete predikaatide olemasolu küsimus ja paradoksaalsed predikaadid

Negatiivsete predikaatide olemasolu küsimus ja paradoksaalsed predikaadid 

Karmo Talts 

 

Vaatame negatiivseid predikaate kõrgema järgu loogikate seisukohast. Me ei pea eeldama, et leidub predikaat mitte-P ja küsima, millistele objektidele see rakendub, vaid võime sama hästi ka eeldada, et leidub predikaat P ja küsida, millistele objektidele see ei rakendu.

Vaatame nüüd, kuidas paistab sellest teisest vaatekohast Russelli hulk. Russelli hulk ei tõesta, et leidub vähemalt üks predikaat P, mille puhul ei saa moodustada hulka kõigist elementidest predikaadiga P, vaid tõestab seda, et leidub vähemalt üks predikaat P, mille puhul ei saa moodusta hulka kõigist elementidest ilma predikaadita P.

Vaatame nüüd, kuidas paistab sellest vaatekohast heterloogilisuse mõiste. Kuna enda kohta mitte käimine ei ole predikaadi rakendumine, vaid on predikaadi mitte-rakendumine, siis heteroloogilisuse mõiste definitsioon eeldab vigaselt, et predikaadi mitte-rakendumine on predikaadi rakendumine.

Vaatame nüüd, kuidas paistab sellest vaatekohast vääruse mõiste. Kuna tõesuse puudumine ei ole predikaadi rakendumine, vaid on predikaadi mitte rakendumine, siis vääruse mõiste definitsioon eeldab vigaselt, et predikaadi mitte-rakendumine on predikaat.

Üldisuskvantorit kasutavate väidete eituste täpsustamise võimalus teise järgu loogikas ja esimese järgu loogika piirid

Üldisuskvantorit kasutavate väidete eituste täpsustamise võimalus teise järgu loogikas ja esimese järgu loogika piirid 

Karmo Talts

 

Vaatame väidet, et pole nii, et iga objekti x puhul on x-il predikaat P, teise järgu loogika seisukohast. Teise järgu loogika võimaldab meil täpsustada, et pole nii, et leidub predikaat P ja iga objekti x puhul on x-il predikaat P.

Vaatame nüüd, millal see täpsustus on tõene. See täpsustus on tõene siis, kui vähemalt üks kahest on tõene, kas ei leidu predikaati P või leidub x, millel puudub predikaat P.

Vaatame nüüd selle tähendust esimese järgu loogika jaoks. Kuna esimese järgu loogika ei suuda väljendada seda, et ei leidu predikaati P, siis esimese järgu loogika sunnib meid juhul, kui pole nii, et iga objekti x puhul on x-il predikaat P, järeldama, et leidub x ilma predikaadita P

Hegel ja kõrgema järgu loogikad

Hegel ja kõrgema järgu loogikad 

Karmo Talts 

 

Vaatame Hegeli süsteemi arusaama mõistetest kõrgema järgu loogikate seisukohast. Hegel ei ütle, et leidub vähemalt üks objekt x, millel korraga on predikaat P ja pole predikaati P, vaid seda, et P läheb üle P eituseks.

Vaatame nüüd seda väidet. Kõige lähemal sellele väitele on klassikalistes kõrgema järgu loogikates väide, et P on identne P eitusega. Eeldusel, et P ja P eitus on erinevad predikaadid, rikub see identsusseadust. Igal juhul ei väljenda see dünaamilist üleminekut.

Vaatame nüüd võimalusi ülemineku formaliseerimiseks. Kui meil on teise järgu kvantoritega substrukturaalne loogika, millel on lineaarne implikatsioon, siis näeb predikaadi üleminek välja nii: kui leidub predikaat P, siis (saab) leiduma predikaat mitte-P, kus "kui ..., siis..." on lineaarne implikatsioon.

Vaatame nüüd sublanteerumist. Kui mõistest saab lineaarselt selle eituse, siis me saame ebamäärase, formaalse eituse. Kui see eitus osutub kasutuskõlbulikuks ja leidub vähemalt üks objekt x, millel pole predikaati P, siis me uurime, mille poolest x-i predikaadid konkreetselt erinevad P-st ja (mõnikord) võtame kasutusele uue mõiste.

Vaatame nüüd näidet. Leidub predikaat Punane. Me sõnastame formaalse eitava predikaadi mitte-Punane. Mõned objektid, mis pole punased, erinevad punastest objektidest ühel konkretsel viisil, mille kohta me võtame kasutusele predikaadi Roheline.

Vaatame nüüd küsitavusi vaate juures et see protsess progresseeruvalt jätkub. Lisaks sellele, et me võime sõnastada formaalse predikaadi mitte-Roheline, võib juhul, kui kõik mitte-punased objektid pole rohelised, Punase ja mitte-Punase sublanteerumine jätkuda: me võtame kasutusele predikaadid Roosa, Oranž jne.

Tühjad tõed ja predikaatide definitsioonid

Tühjad tõed ja predikaatide definitsioonid

Karmo Talts

 

Vaatame väite "kõik lennukid ei ole lennumasinad" staatust ajal, kui lennukeid polnud veel valmistatud. See väide oli siis tühjalt tõene.
Vaatame nüüd, kuidas see väide sobib kokku sellega, et lennuk on definitsiooni järgi teatud tüüpi lennuvahend. See tekitab esmapilgul vasturääkivuse.
Kasutame nüüd kõrgema järgu loogikat. Väide, et lennuki predikaat on teatud tüüpi lennumasina predikaat, ei ole üldse lennukite, vaid predikaadi Lennuk kohta käiv väide.

Kooskõlalised predikaadid ja tõde

Kooskõlalised predikaadid ja tõde 
Karmo Talts

Vaatame, millal predikaat pole kooskõlaline. Predikaat P pole kooskõlaline siis, kui iga objekti x puhul pole nii, et x-l ei saa korraga olla P ja mitte olla P.
Sõnastame nüüd tõeskeemi. Väide Q on tõene parajasti siis, kui Q omistab hulga x liikmetele kooskõlalise predikaadi P ja hulga x liikmetel on P.
Vaatame nüüd väärust. Väide Q on väär parajasti siis, kui predikaat P, mille Q hulga x-liikmetele omistab, pole kooskõlaline või x-i liikmetel pole predikaati P, mida Q x-i liikmetele omistab.

Katse formaliseerida vaadet, et maailm pole duaalne

Katse formaliseerida vaadet, et maailm pole duaalne 

Karmo Talts
 

Vaatame, kas vaadet, et maailm pole duaalne, saab formaliseerida. Kui leiduvad x ja y ja x ja y pole identsed, siis leidub duaalsus. Seega saab mitteduaalsuse vaadet formaliseerida nii: iga x-i ja y-i puhul on x ja y identsed.

Predikaadid ja mitte-eksisteerivate objektide küsimus

Predikaadid ja mitte-eksisteerivate objektide küsimus

Karmo Talts

Vaatame lauset "Pegasus on tiivuline hobune" teise järgu loogika seisukohast. See, et leidub Pegasuse predikaat, tiivulisuse predikaat ja hobususe predikaat, tundub usutavam, kui see, et need kuuluvad tegelikult mõnele objektile.
Vaatame nüüd võimalust, et leidub kujutlus ja selle kujutluse predikaadid. Ei tundu eriti usutav, et kujutlus on tiivuline hobune või et sellel kujutlusel on nimi.
Vaatame nüüd veel ühte võimalust. Kujutluse predikaadid meenutavad meile hobusust, tiivulisust ja Pegasuseks nimetatuks olemist.
Vaatame nüüd, kas see muudaks  selle, mida me üritame väljendada lausega "Pegasus on tiivuline hobune" täiesti subjektiivseks. Kui leidub sarnaseid olendeid, kellele kujutluse predikaatidega P, Q ja R predikaadid P, Q ja R meenutavad predikaate hobusus, tiivulisus ja Pegasuseks nimetatud olemine, siis nad väljendavad lausega "Pegasus on tiivuline hobune" sarnast kogemust.

Hüpotees, et enamik matemaatika kodeerimiseks piisavalt võimaste formaalsete süsteemide teoreeme on tõestatavad

Hüpotees, et enamik matemaatika kodeerimiseks piisavalt võimaste formaalsete süsteemide teoreeme on tõestatavad 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise hüpoteesi: kui formaalne süsteem on piisavalt võimas, et kodeerida aritmeetika, siis on kõik selle formaalse süsteemi teoreemid peale teoreemi "see teoreem pole tõestatav" tõestatavad.
Vaatame nüüd selle, kui see hüpotees kehtib, tähendust. Kui aritmeetika kodeerimiseks pole vaja kasutada teoreemi "see  teoreem pole tõestatav", siis pole oluline see, kas formaalne süsteem on kooskõlaline, oluline on ainult see, et formaalse süsteemi fragment, mis ei sisalda seda teoreemi, on kooskõlaline.