Definitsioonide varjatud eeldus ja valetajalause

Definitsioonide varjatud eeldus ja valetajalause 

Karmo Talts

 

Vaatame väidet "sõna „draakon” tähendab teatud tüüpi tuldpurskavat roomajat ja sellist sõna nagu „draakon” pole olemas". See on absurdne. Seega ütleb iga definitsioon varjatult, et leidub defineeritav, mis on defineeritud definitsiooni abil.

Vaatame nüüd valetajalause definitsiooni. Valetajalause definitsioon ütleb varjatult, et leidub väide, mis tähendab, et ta ise on väär. Kui leidub selline väide, siis on leidub väide, mis on korraga tõene ja väär. Seega sellist väidet ei leidu.

Lõpetatud ja lõpetamata predikaatide eristus ning Nelson Grellingi paradoks

Lõpetatud ja lõpetamata predikaatide eristus ning Nelson Grellingi paradoks

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust, et predikaat saab olla lõpetatud ja lõpetamata, selle jaoks, mille kohta predikaat käib. Kui lõpetamata predikaat käiks millegi kohta, siis ta poleks lõpetamata. Seega käib õigesti lõpetatud predikaat objekti või objektide kohta, millega predikaat on õigesti lõpetatud.

Vaatame nüüd Nelson Gellingi paradoksi. Kui predikaadi P( ) puhul on üks viis õigesti lõpetada predikaati P(P), siis see predikaadi lõpetamise viis on autoloogiline. Kui predikaadi ¬P( ) puhul on üks õige viis lõpetada predikaati ¬P(P), siis on see predikaadi lõpetamise viis heteroloogiline. Heteroloogilisuse predikaadi puhul oleks predikaat H(H) juhul, kui predikaati H( ) oleks õige lõpetada H-ga, ühtlasi autoloogiline ja heteroloogiline ja predikaat ¬H(H) juhul, kui predikaati ¬H( ) oleks õige lõpetada H-ga, on ühtlasi heteroloogiline ja autoloogiline.

Vaatame nüüd, kuidas paradoksi vältida. Nii predikaati H( ), kui ka predikaati ¬H( ) ei ole õige lõpetada H-ga. 

Vaatame nüüd selle tähendust. Välistatud kolmanda seadus kujul "iga predikaadi P ja objekti x puhul x-iga saab õigesti lõpetada predikaadi P( ) või saab x-iga õigesti lõpetada predikaadi ¬P( )" ei kehti. 

Predikaat "tõeväärtuseta"

Predikaat "tõeväärtuseta" 

Karmo Talts

Võtame kasutusele predikaadi „tõeväärtuseta”.
Vaatame nüüd selle predikaadi vabastamist. Kui predikaadist „P on tõeväärtuseta” järelduks, et P-l on mingi tõeväärtus, siis poleks P tõeväärtuseta. Seega ei saa predikaati P vabastada.
Vaatame nüüd tõeväärtuseta väidete lubamise tähtsust mitte-tõesusele. Mitte-tõesel väitel on tõesusest erinev tõeväärtus või puudub tõeväärtus.
Vaatame nüüd bikonditsionaali „P pole tõene parajasti siis, kui P-l pole kõige kõrgem tõeväärtus või P-l pole tõeväärtust”. Selleks on „P-l on kõige kõrgem tõeväärtus ja P-l on tõeväärtus parajasti siis, kui P on tõene”.

Valetajalause kui ekvivalentsusväide

Valetajalause kui ekvivalentsusväide 

Karmo Talts

 

Tõlgendame valetajalauset ekvivalentsusväitena "X on ekvivalentne väitega „X on väär”".

Vaatame nüüd selle ekvivalentsusväite tõeväärtustabelit.

X Fl⌈X⌉ X → Fl⌈X⌉ Fl⌈X⌉ → X X⇔ Fl⌈X⌉

T V          V                  T                  V

V T          T                  V                  V

Nagu me näeme, on väide "X on ekvivalentne väitega „X on väär”" paratamatult väär.

Eri tüüpi eituste kasutamine mitmekohaliste predikaatide eitamiseks ja Nelson-Grellingi paradoks

Eri tüüpi eituste kasutamine mitmekohaliste predikaatide eitamiseks ja Nelson-Grellingi paradoks

Karmo Talts

 

Võtame kasutusele rohkem kui ühte tüüpi eitused mitmekohaliste predikaatide eitamiseks. Üks neist eitustest ütleb, et predikaat ei rakendu sobiva kohtade arvuga järjestatud objektide jadale. Teine neist ütleb, et predikaat ei rakendu, sest objekt, ei ole sobiva kohtade arvuga objektide jada, millele predikaati rakendada.

Vaatame nüüd Nelson-Grellingi paradoksi. Kui ühekohaline predikaat P rakendub P-le, siis P on autoloogiline. Kui ühekohaline predikaat P ei rakendu P-le, siis P on heteroloogiline. Kui predikaat P on mitmekohaline, siis ta rakendub objektide järjestatud paaridele. P ise ei ole objektide järjestatud paar ja seega P pole sobiba kohtade arvuga objekt, millele P-d rakendada. Seega pole P ei heteroloogiline ega autoloogiline.

Definitsooni sõltuvus defineeritavast

Definitsooni sõltuvus defineeritavast

Karmo Talts

 

Vaatame definitsiooni defineeritavast sõltumise küsimust. Enamasti on definitsioon X defineeritavast Y sõltumatu ja seega oleks definitsiooni X abil võidud ka defineerida ka defineeritav Z, mis ei ole identne Y-iga.

Vaatame nüüd kõige lihtsamat näidet definitsiooni sõltuvusest defineeritavast. Kui definitsioon X kasutab defineeritavat Y, siis on Y enesele viitav. Kui definitsiooni X abil oleks defineeritud defineeritav Z, mida definitsioon X ise ei kasuta, poleks enesele viitamist tekkinud.

Vaatame nüüd kaudset enesele viitamist. Kui definitsioon X kasutab defineeritavat Y ja Y viitab X-ile, või Y viitab Z-ile ja Z viitab X-ile, jne., siis tekib kaudne enesele viitamine. Kui definitsiooni X oleks kasutatud Y-i defineerimisel viisil, kus sellist tsüklit ei teki, siis poleks kaudset eneseleviitamist tekkinud.

Vaatame nüüd juhtu, kus definitsioon X on lõpetamata predikaadi Y definitsioon. Kui me lõpetame Y-i kasutades X-i, siis sellises kasutuses viitab Y X-ile. Kui definitsiooni X oleks kasutatud Y-i, mis pole lõpetamata predikaat, defineerimisel, siis ei oleks saanud Y-it lõpetada, rääkimata lõpetamisest X-i abil.

Eneseleviitavate kontseptsioonide ja väidete tähenduse sõltuvus viidatavast endast ning paradoksid

Eneseleviitavate kontseptsioonide ja väidete tähenduse sõltuvus viidatavast endast ning paradoksid 

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi käsitleda kolmandat võimalust selle kõrval, et iga predikaadi puhul on tegu autoloogilise predikaadiga või on tegu hetereoloogilise predikaadiga. Eneseleviitavate kontseptsioonide probleem on selles, et nende tähendus sõltub viidatavast endast. Seega on predikaat P autoloogiline parajasti siis, kui P tähendus ei sõltu autoloogilisuse kontseptsioonist ja P rakendub P-le. P on heteroloogiline parajasti siis, kui P tähendus ei sõltu heteroloogilisuse kontseptsioonist ja P ei rakendu P-le.

Vaatame nüüd võimalusi käsitleda tõepredikaadiga seotud paradokse. Kui väite P tähendus ei sõltu tõesuse kontseptsioonist ja P tähendus ei sõltu vääruse kontseptsioonist, siis on P tõene parajasti siis, kui P. Kui väite P tähendus sõltub tõesuse või vääruse kontseptsioonist ja  väite Q, mille tõeväärtusest P räägib, tähendus ei sõltu tõesuse või vääruse kontseptsioonist, siis on P tõene parjasti siis, kui P.  Kui väite P tähendus sõltub tõesuse või vääruse kontseptsioonist ja väite Q, mille tõeväärtusest P räägib, tähendus sõltub tõesuse või vääruse kontseptsioonist ja väite R, mille tõeväärtusest Q räägib, tähendus ei sõltu tõesuse või vääruse kontseptsioonist, siis on P tõene parjasti siis, kui P. Jne.   

Vaatame nüüd hulgateoreetilisi paradokse. Iga predikaadi puhul, mille tähendus ei sõltu hulga kontseptsioonist, saab luua hulga kõigist elementidest predikaadiga P.

Predikaadid Rakendub ja Ei rakendu ning Nelson Grellingi paradoks

Predikaadid Rakendub ja Ei rakendu ning Nelson Grellingi paradoks

Karmo Talts

 

Vaatame, kas predikaat Rakendub rakendub predikaadile Rakendub. Predikaat Rakendub rakendub järjestatud elementide paarile, mille esimene liige on predikaat, mis rakendub paari teisele liikmele. Predikaat Rakendub ei ole elementide järjestatud paar. Seega on predikaadi Rakendub omistamine predikaadile Rakendub kategooriaviga.

Vaatame nüüd, kas predikaat Ei rakendu rakendub predikaadile ei rakendu. Jällegi on tegemist predikaadiga, mis rakendub elementide järjestatud paaridele ja kuna ta ise ei ole elementide järjestatud paar, siis tema endale omistamine on kategooriaviga.

Vaatame nüüd Nelson Grellingi paradoksi. Küsimus, kas heteroloogilisuse predikaat on heteroloogiline, on küsimus, kas predikaat Ei rakendu rakendub endale, sõnastatuna ühekohaliste predikaatide abil. Seega on see küsimus püstitatud valedelt alustelt.

Tõe vastavusteooriast lähtuv tõe rekursiivne määratlus ja valetaja paradoks

Tõe vastavusteooriast lähtuv tõe rekursiivne määratlus ja valetaja paradoks 

Karmo Talts

 

Läheneme tõe vastavusteoorale rekursiivselt. Tõene(0):=Vastab (väide, tegelikkus)

Tõene(n+1):=Vastab (n, tegelikkus)

Vaatame nüüd valetajalauset. Valetajalause ei väida midagi vahetult maailma kohta. Valetajalause ei väida midagi väite kohta, mis väidab midagi vahetult maailma kohta. Valetajalause ei väida midagi väite kohta, mis väidab midagi väite kohta, mis väidab midagi vahetult maailma kohta. Jne. Seega valetajalause pole tõene. 

Väidetest normaalsel juhul ja paradoksaalsetele juhtudel järelduvad eitust kasutavad väited

Väidetest normaalsel juhul ja paradoksaalsetele juhtudel järelduvad eitust kasutavad väited 

Karmo Talts

 

Vaatame, millist eitust kasutavad väited normaalselt juhul järelduvad väidetest. Normaalsest väitest P järeldub P kahekordne eitus ja teised P paarisarvulised eitused.

Vaatame nüüd paradoksaalseid väiteid. Paradoksaalne väitest P järeldub definitsiooni järgi P eitus ja P paarituarvulised eitused. Loogika järgi järelduvad P-st P paarisarvulised eitused.

Vaatame nüüd mõningaid paradokside võimalikke lahendusi. Väidete definitsioonid saavad nurjuda või ei ole see teoreem, et väitest P järeldub P kahekordne eitus.

Tõeväärtuseta objektid ja järeldused

Tõeväärtuseta objektid ja järeldused 

Karmo Talts

 

Vaatame, kuhu viivad koos eeldused, et tõeväärtuseta objektidest ei tulene järeldusi ja mõned väited on tõeväärtuseta. Tõeväärtuseta väited on tõeväärtuseta objektid. Seega ei tulene tõeväärtuseta väidetest järeldusi.

Vaatame nüüd selle tähendust loogika jaoks. Lausemuutujad on tegelikult tõeväärtusliku objekti muutujad.

Väidete nimed formaalses keeles ja väidete sisu

Väidete nimed formaalses keeles ja väidete sisu 

Karmo Talts

 

Vaatame väidetele viitamist nimede abil formaalsetes keeltes väidete sisu seisukohast. Kui me asendame deklaratiivse lause a termiga X ja me paneme X-ile nimeks Y, siis Y toimib sisuliselt a nimena. Kui me asendame deklaratiivse lause a X-iga ja me paneme väitele „X on tõene” nimeks Y, siis Y toimib sisuliselt väite „a on tõene” nimena. Jne.

Vaatame nüüd valetajalauset. Kui me asendame deklaratiivse lause a X-iga ja paneme väitele „X on väär” nimeks X, siis sisuliselt toimib X väite „a on väär” nimena. Formaalselt on X väite „X on väär” nimi, st. X toimib sisuliselt ka väite „väide „a on väär” on väär” nimena. Seega toimib X sisuliselt kahe erineva väite nimena ja me kasutame sisuliselt X-i kahes erinevas tähenduses.

Vaatame nüüd selle tähendust. Formaalse keele paradoksaalsetele väidetele ei saa anda sisu, sest siis me kasutame ühte ja sama termi erinevatele sisulistele väidetele viitamiseks.

Võimatus korraga eitada ja jaatada ühe ja sama väite ühte ja sama esinemisjuhtu

Võimatus korraga eitada ja jaatada ühe ja sama väite ühte ja sama esinemisjuhtu 

Karmo Talts

 

Vaatame, kas saab ühte ja sama väite P esinemisjuhtu jaatada ja eitada. Kui P esinemisjuhtu eitatakse, on selle P esinemisjuhu ees kirjas eitus ja kui jaatatakse, siis pole selle P esinemisjuhu ees kirjas eitust. Seega ei saa P ühte ja sama esinemisjuhtu korraga eitada ja jaatada.

Vaatame nüüd P erinevate esinemisjuhtude suhet tuletuskäigus. Kuigi P esinemisjuhud erinevad, siis nad saavad normaalse tuletuskäigu puhul asendada üksteist, sest juhul, kui P ei tõesta vasturääkivust, järeldub jaatatud P esinemisjuhust teine jaatatud P esinemisjuht ja eitatud P esinemisjuhust järeldub teine eitatud P esinemisjuht ja kui P tõestab vasturääkivuse, siis P eitus ei tõesta vasturääkivust.

Vaatame nüüd paradoksaalsed tuletuskäike. Kuna paradoksaalse väite P ja P eituse tuletuskäigud mõlemad tõestavad P ja P eituse, siis puudub tuletuskäik, kus P esinemisjuhud saavad üksteist asendada.

Objektide predikaatide kindlaks tegemise võimalikkus ja hulkade moodustamine

Objektide predikaatide kindlaks tegemise võimalikkus ja hulkade moodustamine

Karmo Talts

 

Vaatame hulkade moodustamist sellest seisukohast, et kui pole võimalik kindlaks teha, millistel elementidel on predikaat P, siis pole praktikas võimalik moodustad elementide predikaadiga P hulka. Võib kaaluda hulkade moodustamise põhimõtet, mille järgi siis, kui on võimalik iga objekti x puhul kindlaks teha, kas x-il on P, siis on võimalik moodustada hulk kõigist elementidest P-ga.

Vaatame nüüd hulkadest, mis ei kuulu endasse, hulkade moodustamise küsimust. Neist hulkadest saab moodustada hulga või ei ole vähemalt ühe hulga puhul võimalik kindlaks teha, kas see kuulub endasse. Kui neist hulkadest on võimalik moodustada hulk, siis kõigi hulkade, mis ei kuulu endasse, hulk korraga kuulub ja ei kuulu endasse. Seega leidub vähemalt üks hulk, mille puhul pole võimalik kindlaks teha, kas see kuulub endasse.

Vaatame nüüd heteroloogilistest predikaatidest hulga moodustamist. Neist predikaatidest saab moodustada hulga või ei ole vähemalt ühe predikaadi puhul võimalik kindlaks teha, kas see on heteroloogiline. Kui heteroloogilistest predikaaditest on võimalik moodustada hulk, siis heteroloogilisuse predikaat ise korraga kuulub sellesse hulka ja ei kuulu sellesse hulka. Seega leidub vähemalt üks predikaat P, mille puhul pole võimalik teha kindlaks, kas P on heteroloogiline.

Vaatame nüüd vääratest väidetest hulga moodustamist. Neist väidetest saab moodustada hulga või pole vähemalt ühe väite puhul võimalik kindlaks teha, kas see on väär. Kui neist väidetest saab moodustada hulga, siis valetajalause korraga kuulub sellesse hulka ja ei kuulu sellesse hulka. Seega leidub vähemalt üks väide, mille puhul pole võimalik kindlaks teha, kas see on väär.

Väited, mis räägivad midagi oma tõeväärtuste kohta

Väited, mis räägivad midagi oma tõeväärtuste kohta 

Karmo Talts

 

Uurime väited, mis väidavad midagi oma tõeväärtuste kohta. Kui väide x väidab, et x-i tõeväärtus on v, siis x-ist järeldub, et x ja x-i tõeväärtus on v. Kui v pole kõige kõrgem tõeväärtus, siis järeldub x-ist, et x-il on kaks erinevat tõeväärtust. Kui v ja kõige kõrgem tõeväärtus räägivad üksteisele vastu, siis järeldub x-ist vasturääkivus.

Vaatame nüüd x-i eitust. Kui v pole kõige madalam tõeväärtus ja v pole ka keskmine tõeväärtus, järeldub x-i eitusest, et x-i eitusel on kaks erinevat tõeväärtust. Kui v räägib kõige kõrgemale tõeväärtusele vastu, siis järeldub x-i eitusest vasturääkivus.

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine 

Karmo Talts

 

Vaatame, mida tähendab eeldus, et tõelisi vasturääkivusi pole olemas, predikaatide defineerimise jaoks. Kui me defineerime predikaadi X predikaadina Y, ei tähenda see seda, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, vaid, et iga X on ekvivalentne Y-iga. Kui eeldusest, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, järeldub vasturääkivus, siis on X-ide hulk tühi.

Väidetele viitamise paradoksid ja viitamine väite enda kehtivuse tingimustele

Väidetele viitamise paradoksid ja viitamine väite enda kehtivuse tingimustele 

Karmo Talts

 

Vaatame Yablo paradoksi väidete jadasse kuuluvatest väidetest tulenevate järelduste ja väidete, mida Yablo paradoksi väited eitavad, suhet. Igast Yablo jada väitest P järelduvad needsamad väited, mille tõesust P eitab. Seega Yablo jada väited viitavad iseenda tarvilikele tingimustele.

Vaatame nüüd, kas teiste väidetele viitamisega seotud paradoksid puhul on samuti mängus väited, mis viitavad iseenda kehtivuse tingimustele. Valetajatsükli esimene väide eitab väidet, millest ta ise järeldub ja teine väide jaatab väidet, millest järeldub tema enda eitus. Seega valetajatsükli esimene väide viitab iseenda piisavale tingimusele.

Vaatame nüüd valetajalauset. Valetajalause on ekvivalentne iseendaga. Seega valetajalause viitab iseenda tarvilikule ja piisavale tingimusele. 

Vaatame nüüd Curry lauset. Curry lause eelduseks on väide, millest Curry lause järeldub ja mis järeldub Curry lausest. Seega Curry lause viitab iseenda tarvilikule ja piisavale tingimusele.

Vaatame nüüd selle tähendust väidetele viitamise paradokside tekkimise mehhanismi jaoks. Kui väide P viitab vähemalt ühele iseenda piisavale või tarvilikule tingimusele ja selle tingimuse või nende tingimuste tõeväärtus sõltub P-st, siis pole võimalik P tõeväärtust kindlaks teha või P on paradoksaalne.

Predikaadi rakendumise ebasümmeetrilisus ja enesele viitamine

Predikaadi rakendumise ebasümmeetrilisus ja enesele viitamine 

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust, et kui predikaat P rakendub Q-le, siis ei pruugi Q rakenduda P-le, P rakendumise jaoks P-le. Kui P esimene esinemisjuht rakendub teisele P esinemisjuhule, siis ei pruugi P teine esinemisjuht rakenduda esimesele P esinemisjuhule.

Vaatame nüüd selle tähendust eneseleviitamise piiride jaoks. Mõiste või väite esinemisjuht ei saa käia vahetult selle mõiste või väite tüübi kohta, mis tüüpi mõiste või väite esinemisjuhuga tegu on. Konkreetne mõiste või väite esinemisjuht saab käia ainult teiste sama mõiste või väite esinemisjuhtude kohta, mitte iseenda kohta.

Predikaatide definitsioonid, mis välistavad paradoksaalsed juhud

Predikaatide definitsioonid, mis välistavad paradoksaalsed juhud 

Karmo Talts

 

Vaatame, kuidas predikaatide definitsioone täiendada nii, et saaks välistada paradoksaalsed juhud. Predikaat P tuleb defineerida predikaadi Q ja Q eituse puudumise konjunktsioonina. Seega pole objektil x predikaati P siis, kui x-il pole Q-d või kui pole nii, et x-il puudub Q eitus. Normaalsel juhul piisab sellest, et x-il on Q, selleks, et x-il puudub Q eitus. Paradoksaalsel juhul järeldub sellest, et x-il on Q, et x-il on Q eitus. Seega paradoksaalsel juhul ei saa P-d x-ile rakendada.

Definitsioonid, mis kasutavad alamääratud tähendusega predikaate

Definitsioonid, mis kasutavad alamääratud tähendusega predikaate

Karmo Talts

 

Uurime defineerimist. Kui predikaadi P definitsioon kasutab vähemalt ühte predikaati, mille enda tähendus on alamääratud, siis on P tähendus alamääratud.

Vaatame nüd valetajalauset. X on defineeritud „X on väärana”, mis kasutab X-i ennast. Seega on kasutab X-i definitsioon alamääratud predikaati ja seega on X-i definitsioon alamääratud.

Vaatame nüüd selle tähendust väidete tõeväärtuste jaoks. Väitel P on tõeväärtus või on P tähendus alamääratud.

Vaatame nüüd alamääratud tähendusega väitest tulenevaid järeldusi. Alamääratud tähendusega väitest tuleneb vähemalt üks järeldus, mille tähendus on alamääratud.

Vaatame nüüd selle tähendust tõeskeemi jaoks. Kui P on alamääratud, siis on ka väite, et P on tõene, tähendus alamääratud.