Võimatus korraga eitada ja jaatada ühe ja sama väite ühte ja sama esinemisjuhtu

Võimatus korraga eitada ja jaatada ühe ja sama väite ühte ja sama esinemisjuhtu 

Karmo Talts

 

Vaatame, kas saab ühte ja sama väite P esinemisjuhtu jaatada ja eitada. Kui P esinemisjuhtu eitatakse, on selle P esinemisjuhu ees kirjas eitus ja kui jaatatakse, siis pole selle P esinemisjuhu ees kirjas eitust. Seega ei saa P ühte ja sama esinemisjuhtu korraga eitada ja jaatada.

Vaatame nüüd P erinevate esinemisjuhtude suhet tuletuskäigus. Kuigi P esinemisjuhud erinevad, siis nad saavad normaalse tuletuskäigu puhul asendada üksteist, sest juhul, kui P ei tõesta vasturääkivust, järeldub jaatatud P esinemisjuhust teine jaatatud P esinemisjuht ja eitatud P esinemisjuhust järeldub teine eitatud P esinemisjuht ja kui P tõestab vasturääkivuse, siis P eitus ei tõesta vasturääkivust.

Vaatame nüüd paradoksaalsed tuletuskäike. Kuna paradoksaalse väite P ja P eituse tuletuskäigud mõlemad tõestavad P ja P eituse, siis puudub tuletuskäik, kus P esinemisjuhud saavad üksteist asendada.

Objektide predikaatide kindlaks tegemise võimalikkus ja hulkade moodustamine

Objektide predikaatide kindlaks tegemise võimalikkus ja hulkade moodustamine

Karmo Talts

 

Vaatame hulkade moodustamist sellest seisukohast, et kui pole võimalik kindlaks teha, millistel elementidel on predikaat P, siis pole praktikas võimalik moodustad elementide predikaadiga P hulka. Võib kaaluda hulkade moodustamise põhimõtet, mille järgi siis, kui on võimalik iga objekti x puhul kindlaks teha, kas x-il on P, siis on võimalik moodustada hulk kõigist elementidest P-ga.

Vaatame nüüd hulkadest, mis ei kuulu endasse, hulkade moodustamise küsimust. Neist hulkadest saab moodustada hulga või ei ole vähemalt ühe hulga puhul võimalik kindlaks teha, kas see kuulub endasse. Kui neist hulkadest on võimalik moodustada hulk, siis kõigi hulkade, mis ei kuulu endasse, hulk korraga kuulub ja ei kuulu endasse. Seega leidub vähemalt üks hulk, mille puhul pole võimalik kindlaks teha, kas see kuulub endasse.

Vaatame nüüd heteroloogilistest predikaatidest hulga moodustamist. Neist predikaatidest saab moodustada hulga või ei ole vähemalt ühe predikaadi puhul võimalik kindlaks teha, kas see on heteroloogiline. Kui heteroloogilistest predikaaditest on võimalik moodustada hulk, siis heteroloogilisuse predikaat ise korraga kuulub sellesse hulka ja ei kuulu sellesse hulka. Seega leidub vähemalt üks predikaat P, mille puhul pole võimalik teha kindlaks, kas P on heteroloogiline.

Vaatame nüüd vääratest väidetest hulga moodustamist. Neist väidetest saab moodustada hulga või pole vähemalt ühe väite puhul võimalik kindlaks teha, kas see on väär. Kui neist väidetest saab moodustada hulga, siis valetajalause korraga kuulub sellesse hulka ja ei kuulu sellesse hulka. Seega leidub vähemalt üks väide, mille puhul pole võimalik kindlaks teha, kas see on väär.

Väited, mis räägivad midagi oma tõeväärtuste kohta

Väited, mis räägivad midagi oma tõeväärtuste kohta 

Karmo Talts

 

Uurime väited, mis väidavad midagi oma tõeväärtuste kohta. Kui väide x väidab, et x-i tõeväärtus on v, siis x-ist järeldub, et x ja x-i tõeväärtus on v. Kui v pole kõige kõrgem tõeväärtus, siis järeldub x-ist, et x-il on kaks erinevat tõeväärtust. Kui v ja kõige kõrgem tõeväärtus räägivad üksteisele vastu, siis järeldub x-ist vasturääkivus.

Vaatame nüüd x-i eitust. Kui v pole kõige madalam tõeväärtus ja v pole ka keskmine tõeväärtus, järeldub x-i eitusest, et x-i eitusel on kaks erinevat tõeväärtust. Kui v räägib kõige kõrgemale tõeväärtusele vastu, siis järeldub x-i eitusest vasturääkivus.

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine 

Karmo Talts

 

Vaatame, mida tähendab eeldus, et tõelisi vasturääkivusi pole olemas, predikaatide defineerimise jaoks. Kui me defineerime predikaadi X predikaadina Y, ei tähenda see seda, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, vaid, et iga X on ekvivalentne Y-iga. Kui eeldusest, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, järeldub vasturääkivus, siis on X-ide hulk tühi.

Väidetele viitamise paradoksid ja viitamine väite enda kehtivuse tingimustele

Väidetele viitamise paradoksid ja viitamine väite enda kehtivuse tingimustele 

Karmo Talts

 

Vaatame Yablo paradoksi väidete jadasse kuuluvatest väidetest tulenevate järelduste ja väidete, mida Yablo paradoksi väited eitavad, suhet. Igast Yablo jada väitest P järelduvad needsamad väited, mille tõesust P eitab. Seega Yablo jada väited viitavad iseenda tarvilikele tingimustele.

Vaatame nüüd, kas teiste väidetele viitamisega seotud paradoksid puhul on samuti mängus väited, mis viitavad iseenda kehtivuse tingimustele. Valetajatsükli esimene väide eitab väidet, millest ta ise järeldub ja teine väide jaatab väidet, millest järeldub tema enda eitus. Seega valetajatsükli esimene väide viitab iseenda piisavale tingimusele.

Vaatame nüüd valetajalauset. Valetajalause on ekvivalentne iseendaga. Seega valetajalause viitab iseenda tarvilikule ja piisavale tingimusele. 

Vaatame nüüd Curry lauset. Curry lause eelduseks on väide, millest Curry lause järeldub ja mis järeldub Curry lausest. Seega Curry lause viitab iseenda tarvilikule ja piisavale tingimusele.

Vaatame nüüd selle tähendust väidetele viitamise paradokside tekkimise mehhanismi jaoks. Kui väide P viitab vähemalt ühele iseenda piisavale või tarvilikule tingimusele ja selle tingimuse või nende tingimuste tõeväärtus sõltub P-st, siis pole võimalik P tõeväärtust kindlaks teha või P on paradoksaalne.

Predikaadi rakendumise ebasümmeetrilisus ja enesele viitamine

Predikaadi rakendumise ebasümmeetrilisus ja enesele viitamine 

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust, et kui predikaat P rakendub Q-le, siis ei pruugi Q rakenduda P-le, P rakendumise jaoks P-le. Kui P esimene esinemisjuht rakendub teisele P esinemisjuhule, siis ei pruugi P teine esinemisjuht rakenduda esimesele P esinemisjuhule.

Vaatame nüüd selle tähendust eneseleviitamise piiride jaoks. Mõiste või väite esinemisjuht ei saa käia vahetult selle mõiste või väite tüübi kohta, mis tüüpi mõiste või väite esinemisjuhuga tegu on. Konkreetne mõiste või väite esinemisjuht saab käia ainult teiste sama mõiste või väite esinemisjuhtude kohta, mitte iseenda kohta.

Predikaatide definitsioonid, mis välistavad paradoksaalsed juhud

Predikaatide definitsioonid, mis välistavad paradoksaalsed juhud 

Karmo Talts

 

Vaatame, kuidas predikaatide definitsioone täiendada nii, et saaks välistada paradoksaalsed juhud. Predikaat P tuleb defineerida predikaadi Q ja Q eituse puudumise konjunktsioonina. Seega pole objektil x predikaati P siis, kui x-il pole Q-d või kui pole nii, et x-il puudub Q eitus. Normaalsel juhul piisab sellest, et x-il on Q, selleks, et x-il puudub Q eitus. Paradoksaalsel juhul järeldub sellest, et x-il on Q, et x-il on Q eitus. Seega paradoksaalsel juhul ei saa P-d x-ile rakendada.

Definitsioonid, mis kasutavad alamääratud tähendusega predikaate

Definitsioonid, mis kasutavad alamääratud tähendusega predikaate

Karmo Talts

 

Uurime defineerimist. Kui predikaadi P definitsioon kasutab vähemalt ühte predikaati, mille enda tähendus on alamääratud, siis on P tähendus alamääratud.

Vaatame nüd valetajalauset. X on defineeritud „X on väärana”, mis kasutab X-i ennast. Seega on kasutab X-i definitsioon alamääratud predikaati ja seega on X-i definitsioon alamääratud.

Vaatame nüüd selle tähendust väidete tõeväärtuste jaoks. Väitel P on tõeväärtus või on P tähendus alamääratud.

Vaatame nüüd alamääratud tähendusega väitest tulenevaid järeldusi. Alamääratud tähendusega väitest tuleneb vähemalt üks järeldus, mille tähendus on alamääratud.

Vaatame nüüd selle tähendust tõeskeemi jaoks. Kui P on alamääratud, siis on ka väite, et P on tõene, tähendus alamääratud.

Vasturääkivus ja stabiilsed tõeväärtused

Vasturääkivus ja stabiilsed tõeväärtused

Karmo Talts

 

Tõlgendame vasturääkivuse seadust nii: vasturääkivus pole stabiilselt tõene.

Vaatame nüüd väiteid, millest järeldub vasturääkivus. Kui P-st järeldub vasturääkivus, siis P-l pole stabiilset tõeväärtust või P-l on tõesusest erinev stabiilne tõeväärtus.

Predikaatide esinemijuhud paradoksaalsete predikaatide definitsioonides ja paradoksi korral tekivatest ekvivalentsus-tehetes

Predikaatide esinemijuhud paradoksaalsete predikaatide definitsioonides ja paradoksi korral tekivatest ekvivalentsus-tehetes

Karmo Talts

 

Tähistame X-i esinemisjuhu valetajalause definitsiooni „X on defineeritud „X on väära-na”" vasakul poolel X1-ga ja X-i esinemisjuhtu definitsiooni paremal poolel X2-ga.

Vaatame nüüd, kas X1 on ekvivalentne X2-ga. See eeldus viib vasturääkivuseni. Seega pole X1 ja X2 ekvivalentsed. Seega kasutab valetajalause definitsioon X-i kahe erineva tõeväärtusega väite tähistamiseks ja rikub identsusseadust.

Vaatame nüüd rohkem kui nullkohalisi predikaate. Paradoksaalsel juhul siis, kui predikaat P on defineeritud predikaadina Q, leidub x, mille puhul P(x,...) on ekvivalentne P(x,...) eitusega. Kui me tähistame P esinemisjuhu ekvivalentsus-tehte vasakul poolel P1-ga ja P esinemisjuhu tehte paremal poolel P2-ga, siis tuleb välja, et P1 pole ekvivalentne P2-ga, sest vastasel juhul on kumbki P esinemisjuht ekvivalentne iseenda eitusega. Seega sellistel paradoksaalsetel juhtudel kasutavad predikaadi definitsioonid ühte ja sama märki varjatult erinevate predikaatide tähistamiseks ja rikuvad samuti identsusseadust.

Maailma kohta käivad väited, väidete kohta käivad väited ja viimaste tõeväärtus

Maailma kohta käivad väited, väidete kohta käivad väited ja viimaste tõeväärtus  

Karmo Talts

 

Vaatame, mis eristab väiteid „see väide on väär” ja väidet „väide „lumi on valge” on tõene”. Esimene käib iseenda kohta, ja, kuna esimene väide on väite kohta käiv väide, käib ta väite kohta käiva väite kohta.Teine käib väite kohta, mis käib maailma kohta väljaspool väiteid.

Vaatame nüüd, kuidas siduda väidete kohta käivate väidete tõeväärtus väidetega, mis käivad maailma kohta väljaspool väiteid, ilma väidete tõeväärtuse määravate tingimuste sõnastamiseta iga väidete tasandi kohta eraldi. Kui vähemalt ühe väite kohta käiv väide P on ekvivalentne väitega Q, mis käib maailma kohta, siis on P-l sama tõeväärtus, mis Q-l ja kui vähemalt ühe väite kohta käiv väide P pole ekvivalentne vähemalt ühe väitega Q, mis käib maailma kohta, siis pole P-l tõeväärtust. 

Väite ja selle sama kohta väite kohta käiva väite tähendus ning valetaja paradoks

Väite ja selle sama kohta väite kohta käiva väite tähendus ning valetaja paradoks 

Karmo Talts

 

Vaatame väiteid X ja „X-il on omadus P” tähenduse seisukohast. Need väited on erineva tähendusega.

Vaatame nüüd valetajalauset. Valetajalause X definitsioon „X on väär” püüab Xi-i tähenduseks anda X-i tähendusest erinevat tähendust. Kui pole võimalik, et väide tähendab midagi muud, kui ta tähendab, siis valetajalause definitsioon nurjub.

Sisu ja vormi suhted loogikas ning valetaja paradoks ja Gödeli lause

Sisu ja vormi suhted loogikas ning valeaja paradoks ja Gödeli lause 

Karmo Talts

 

Vaatame välistatud kolmanda seaduse vormi ja väidete sisu suhteid. Kui me asendame deklaratiivse lause lausemuutujaga P, siis on P tõene või väär. Kui me asendame deklaratiivse laused lausemuutjatega P, Q, jne. ja kasutame neid loogikatehte osavalemitena, siis on see loogikatehe tõene või väär. Kui me asendame sel viisil saad loogikatehted lausemuutujatega ja kasutame neid loogikatehte osavalemitena, siis on loogikatehe tõene või väär. Kui me asendame sel viisil saadud loogikatehted lausemuutujatega ja kasutame neid koos lausemuutujatega, mis asendavad deklaratiivseid lauseid, loogikatehte osavalemitena, siis on loogikatehe tõene või väär. Jne.

Vaatame nüüd valetajalauset. X-i definitsioon „X on väär” on formaalne definitsioon. Deklaratiivse lause või loogikatehte, millel on tõeväärtus, asendamine X-iga eirab seda, et see deklaratiivne lause või see loogikatehe ei ole defineeritud eneseleviitamise abil.

Vaatame nüüd Gödeli lauset. Deklaratiivse väite /või loogikatehete, millel on tõeväärtus, asendamine Gödeli lausega eirab seda, et deklaratiivne lause või see loogikatehe ei ole eneseleviitav.

Predikaatide defineerimine ja definitsioonina kasutava predikaadi eksistentsi sõltuvus defineeritavast predikaadist

Predikaatide defineerimine ja definitsioonina kasutava predikaadi eksistentsi sõltuvus defineeritavast predikaadist 

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmise piirangu predikaatide defienerimisele. Kui leidub predikaat P, mis eksisteerib predikaadist Q sõltumatult, siis tohib Q defineerida P-na.

Vaatame nüüd paradoksaalseid predikaate. Kui predikaat Q leidub predikaadist P sõltumatult, siis P ei ole enesele viitav predikaat. Seega on paradoksaalsed predikaadid defineeritud predikaatide kaudu, mida ei leidu neist sõltumatult ja see on lubamatu.

Küsimus, kas iga väite saab omaks võtta või tagasi lükata, ja paradoksid

Küsimus, kas iga väite saab omaks võtta või tagasi lükata, ja paradoksid 

Karmo Talts

 

Vaatame väitmist puudutavat seaduse-kanditaati „iga väite saab omaks võtta või tagasi lükata”. Kui see on nii, siis saab korraga omaks võtta paradoksaalse väite P ja tagasi lükata P-ga ekvivalentse väite. Seega ei saa igat väidet omaks võtta või tagasi lükata.

Vaatame nüüd nõrgemat seadust „iga väite saab omaks võtta või mitte omaks võtta”. Väite mitte omaks võtmine juhul, kui väidet aktiivselt tagasi ei lükata, ei sea mingeid kohustusi selles suhtes, milliseid teisi väiteid tuleb omaks võtta ja tagasi lükata.

Tõe vastavusteooria ja inferentsialismi ühendamine

Tõe vastavusteooria ja inferentsialismi ühendamine

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi tõe vastavusteooria ja inferentsialismi ühendamiseks. P on tõene parajasti siis, kui on nii, et P või kui vähemalt üks tõene väide Q tõestab P.

Vaatame nüüd, millal tõene väide Q tõestab P. Tõene Q tõestab P siis, kui on nii, et Q ja Q-st järeldub P, kui on nii, et R ja R-ist järeldub Q ja Q-st järeldub P jne.

Üldistame nüüd. Kui on nii, et R ja R-ist järeldub P ja P tuletamise käigus R-ist kasutatakse Q-d, siis Q tõestab tõese väite P.

Vaatame nüüd paradokse. Paradoksaalse väite P puhul ükski P piisav tingimus Q ei ole kindlaks tehtavalt tegelikkusele vastav väide, ega ei ole tuletatud ühestki kindlaks tehtavalt tegelikkusele vastavast väitest. Seega me ei tea, kas P on tõene.

Loogika, kus see, et väitel on üks kahest tõeväärtusest, on normaaljuhul kehtiv reegel

Loogika,  kus see, et väitel on üks kahest tõeväärtusest, on normaaljuhul kehtiv reegel

Karmo Talts

 

Vaatame loogikat, kus see, et väitel on üks kahest tõeväärtusest, on normaaljuhul kehtiv reegel. Kui eeldus, et väitel P on üks kahest tõeväärtusest, viib paradoksini, siis P-l pole ühte kahest tõeväärtusest.

Vaatame nüüd, kuidas seda üldistada. Kui P-l pole üks kahest tõeväärtusest, siis normaaljuhul on P-l üks kolmest tõeväärtusest. Kui eeldus, et väitel P on üks kolmest tõeväärtusest, viib paradoksini, siis P-l pole üks kolmest tõeväärtusest. Kui P-l pole üks kolmest tõeväärtusest, siis normaaljuhul on P-l üks neljast tõeväärtusest. Kui eeldus, et väitel P on üks neljast tõeväärtusest, viib paradoksini, siis P-l pole üks neljast tõeväärtusest. Jne.

Predikaatide kooskõlalisus, väited ja tõde

Predikaatide kooskõlalisus, väited ja tõde  

Karmo Talts

 

Vaatame predikaate. Mõned neist on definitsiooni poolest kooskõlalised ja teised mitte-kooskõlalised.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi predikaate. Mitte-kooskõlaline predikaat P on ekvivalentne P eitusega.

Vaatame nüüd selle tähendust väidete jaoks. Väide P rakendab kas ainult kooskõlalisi predikaate või P rakendab vähemalt ühte mittekooskõlalist predikaati. Vähemalt osa mitte-kooskõlalisi predikaate kasutavatest väidetest pole ise kooskõlalised.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi väiteid. Mitte-kooskõlaline väide P on ekvivalentne P eitusega.

Vaatame nüüd tõega seotud küsimusi. Kui me loeme tõeväärtuslikuks ainult kooskõlalised väited, siis P mitte-kooskõlalisusest piisab selleks, et P-l puudub tõeväärtus. Kui me loeme tõeväärtuslikeks ka mitte-kooskõlalised väited, siis peavad meil olema vahendid nende tõeväärtuse käsitlemiseks.

Paradoksaalsete predikaatide definitsioonid ja tõde

Paradoksaalsete predikaatide definitsioonid ja tõde 

Karmo Talts

 

Vaatame predikaatide, mille definitsioon on paradoksaalne, erinevust nendest predikaatidest, mille definitsioon ei ole paradoksaalne. Mitte-paradoksaalsel juhul ei muuda predikaadi X defineerimine Y-ina Y-i tähendust. Paradoksaalsel juhul X-i defineerimine Y-ina muudab Y-i tähendust.

Vaatame nüüd selle tähendust väidete jaoks. Väide X on tõene või X on väär või X-i defineerimine Y-ina muudab Y-i tähendust.

Vaatame nüüd täiendavat loogikaseadust, mis sellest tuleneb. X-i defineerimine Y-ina  ei saa muuta Y tähendust ja samas X olla tõene või väär.

Vaatame nüüd tõde. Kui see, et X on defineeritud Y-ina, ei muuda Y-i tähendust, siis on Y-ina defineeritud X tõene parajasti siis, kui Y.

Predikaadid ning olemasolevad väited, omadused ja suhted

Predikaadid ning olemasolevad väited, omadused ja suhted 

Karmo Talts

 

Tõlgendame tõeväärtusega objekte nii: kui leidub tõene objekt x või leidub väär objekt x, siis saab selle asendada lausemuutujaga. St., et lausemuutujaid ei saa lihtsalt defineerida, sest lausemuutujaga saab asendada ainult olemasolevaid tõeväärtusega objekte.

Vaatame nüüd objekti x, mis on defineeritud x on väärana. Kuna siis, kui leiduks x, siis leiduks korraga tõene ja väär objekt, siis x-i ei leidu. Kuna x-i ei leidu, ei saa seda lausemuutujaga asendada ja seega ei leidu valetajalauset.

Laiendame nüüd meie käsitluse mistahes predikaatidele. Kui leidub omadus x või suhe x, siis saab selle asendada ühe- või rohkemakohalise predikaadiga.

Vaatame nüüd x-i, mis on defineeritud suhtena „ei käi enda kohta”. Kui leidub x, siis ta korraga käib enda kohta ja ei käi enda kohta. Seega x-i ei leidu. Kuna x-i ei leidu, siis ei saa seda ühe või rohkemakohalise predikaadiga asendada ja seega leidu predikaati Heteroloogiline.