Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks

Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks 

Karmo Talts

Üldistame loogikaseadused tõeväärtuste x ja y jaoks. Väitel P ei saa korraga olla tõeväärtus x ja mitte olla tõeväärtus x. Väitel P on tõeväärtus x või on väitel P x-ist erinev tõeväärtus.
Vaatame nüüd teoreeme. Kui P-l on tõeväärtus x, siis P eituse eitusel on tõeväärtus x. Kui eeldusest, et P-l on tõeväärtus x, järeldub vasturääkivus, siis P-l pole tõeväärtus x. Kui P-l on tõeväärtus x ja Q-l on tõeväärtus y, siis on P ja Q konjunktsioonil kõige madalam tõeväärtus tõeväärtuste x ja y hulgast. Kui P-l on tõeväärtus x, siis saab sisse tuua disjunktsiooni P-l on tõeväärtus x või on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l pole tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l on tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l pole tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja P-l on tõeväärtus x, siis on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja Q-l pole tõeväärtus y, siis pole P-l tõeväärtus x.

Loogikaseadused teise järgu loogika keeles

Loogikaseadused teise järgu loogika keeles

Karmo Talts

Sõnastame vasturääkivuse seaduse teise järgu loogika keeles. Iga predikaadi P puhul ei saa korraga olla nii, et leidub objektide hulk X ja ei leidu objektide hulka X, mille liikmetel on predikaat P.
Sõnastame nüüd analoogse välistatud kolmanda seaduse kuju. Iga predikaadi P puhul kas leidub hulk X või ei leidu hulka X, mille liikmetel on predikaat P.
Vaatame nüüd juhte, kus predikaat P on täpselt ühel objektil, objektil x. Siis on objekt x hulga X, mille liikmetel on predikaat P, ainus liige. 

Tõe vastavusteooria ja loogika

Tõe vastavusteooria ja loogika

Karmo Talts

 

Sõnastame loogikaseadused, lähtudes sellest, et tõesus on suhe tegelikkuse ja väite vahel.

Väide ei saa korraga vastata ja mitte vastata tegelikkusele. Väide vastab tegelikkusele või ei vasta tegelikkusele. 

Vaatame nüüd teoreeme. Tautoloogiaseadus ütleb, et kui väide vastab tegelikkusele, siis väide vastab tegelikkusele. Kahekordse eituse sissetoomine ütleb, et kui väide vastab tegelikkusele, siis pole nii, et väide ei vasta tegelikkusele. Eituse sissetoomine ütleb, et kui väitest järeldub, et mõni väide korraga vastab ja ei vasta tegelikkusele, siis väide ei vasta tegelikkusele. Konjunktsiooni sissetoomine ütleb, et kui esimene väide vastab tegelikkusele ja teine väide vastab tegelikkusele, siis vastab nende konjunktsioon tegelikkusele. 

Disjunktsiooni sissetoomine ütleb, et kui väide vastab tegelikkusele, siis vastab see väide tegelikkusele või vastab teine väide tegelikkusele. Konditsionaal ütleb, et eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele. Modus ponens ütleb, et kui eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele ja eeldus vastab tegelikkusele, siis järeldus vastab tegelikkusele. Modus tollens ütleb, et kui eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele ja järeldus ei vasta tegelikkusele, siis eeldus ei vasta tegelikkusele.

Kontrapositsiooni tuletamine ütleb, et kui eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele, siis järeldus ei vasta tegelikkusele või eeldus vastab tegelikkusele.  Disjunktiivne süllogism ütleb, et kui esimene väide vastab tegelikkusele või teine väide vastab tegelikkusele ja esimene väide ei vasta tegelikkusele, siis vastab teine väide tegelikkusele. Vasturääkivuse plahvatavus ütleb, et pole nii, et väide vastab korraga tegelikkusele ja ei vasta tegelikkusele või vastab teine väide tegelikkusele.  

Null kui ur-element ja ilma tühja hulgata hulkade käsitlus

Null kui ur-element ja ilma tühja hulgata hulkade käsitlus

Karmo Talts 

Defineerime nulli nii: arv null on ur-element. Me saame moodustada hulga, mille element on ur-element, hulga, mille elementideks on ur-element ja ur-elemendist moodustatud hulk jne. ja niimoodi defineerida naturaalarvud.

Vaatame nüüd selle tähendust, et null pole tühi hulk. Kui ei leidu elemente predikaadiga P, siis pole nende hulk mitte tühi, vaid ei leidu nende hulka.

Vaatame nüüd hulkade moodustamist. Mistahes predikaadi P puhul saab moodustada hulga elementidest, millel on predikaat P siis, kui leidub elemente predikaadiga P.

Vaatame nüüd selle tähendust loogikaseaduste jaoks. Ei leidu väidete hulka, millesse kuuluvad väited oleks korraga tõesed ja väärad. Kui leidub väide, siis on väide tõene või väär. 

Vaatame nüüd selle tähendust universaalsuse kvantorit kasutavate väidete jaoks. Kui ei leidu elemente, siis pole tühi tõde, et igal elemendil on predikaat P ja tühi tõde, et igal elemendil puudub predikaat P, vaid puudub nii elementide predikaadiga P, kui ka elementide predikaadita P hulk.

 

Tõe koherentsiteooria ja loogikaseadused

Tõe koherentsiteooria ja loogikaseadused

Karmo Talts

 

Vaatame vasturääkivuse seadust tõe koherentsiteooria seisukohast. Ühe ja sama teooria osaks ei tohi korraga olla väide ja selle sama väite eitus, sest muidu tekib vasturääkivus.

Vaatame nüüd välistatud kolmanda seadust. Väide on kas konkreetse teooriaga kooskõlas või räägib sellele teooriale vastu, kolmandat võimalust pole.

Vaatame nüüd väidete, mis ei ole teooria sõnavara abil sõnastatud, küsimust. Kui väidet võtta laias tähenduses, siis tuleb välja, et tõe koherentsiteooria järgi saab väide olla ei kooskõlas ega rääkida vastu kooskõlalisele teooriale siis, kui see väide pole sõnastatud teooria sõnavara abil. Kui väide, mis on ühe teooria seisukohast on tähenduslik väide, on teise teooria seisukohast tähenduseta sümbolite jada, siis tõe koherentsiteooria seisukohast võib välistatud kolmanda seaduse sõnastada nii: konkreetse teooria sõnavara abil sõnastatud väide on selle teooriaga kooskõlas või räägib sellele teooriale vastu.

Eeldus, et mõnedel väidetel pole tõeväärtust, ja loogikaseadused

Eeldus, et mõnedel väidetel pole tõeväärtust, ja loogikaseadused

Karmo Talts

 

Sõnastame klassikalise loogika seadused lähtudes sellest, et kõik väited ei pruugi olla tõeväärtuslikud. Objekt ei saa olla korraga tõene ja väär. Kui objektil on tõeväärtus, siis on objekt tõene või väär.

Vaatame nüüd loogikaid, mis on mitteklassikalised. Kui need lähtuvad sellest, et leidub ilma tõeväärtuseta väiteid, siis käsitlevad need loogikad mitte väiteid, vaid tõeväärtuslikke objekte.