Selle, et vasturääkivusest järeldub vähemalt üks väär järeldus, tõestus

Selle, et vasturääkivusest järeldub vähemalt üks väär järeldus, tõestus 

Karmo Talts

Tõestame vasturääkivuse seaduse kujul „eeldusest, et väide on korraga tõene ja väär, järeldub vähemalt üks väär järeldus”. Kui me eeldame, et väide P on korraga tõene ja väär, siis me saame konjunktsiooni ellimineerimisel järeldada, nii selle, et P on tõene, kui ka selle, et P on väär. Kui P on väär, siis me saame P-st tuletada mingi väära järeldus. Kasutame nüüd modus ponensit.  Me saame P-st tuletada mingi väära järelduse. Kasutame nüüd modus ponensit uuesti ja tuletame väära järelduse. Kasutame nüüd transitiivsust. Eeldusest, et P on korraga tõene ja väär, järeldub väär järeldus

Vasturääkivuse plahvatavuse tõestamine tõestusteooria abil

Vasturääkivuse plahvatavuse tõestamine tõestusteooria abil

Karmo Talts

 

Vaatame, kas vasturääkivuse plahvatavuse saab tõestada tõestusteooria abil. Identsus tähendab, et P tõestab P. Nõrgendame seda. P tõestab P või P tõestab Q. Kasutame nüüd sümmeetriat. P ja P eitus tõestavad Q. Seega loogikas, kus kehtivad kõik kolm, identsus, nõrgendamine paremal ja eelduste ning järelduste sümmeetria, kehtib vasturääkivuse plahvatavus.

Hägusloogika abil väite, et pole selge, kas väide saab olla korraga tõene ja väär, käsitlemine

Hägusloogika abil väite, et pole selge, kas väide saab olla korraga tõene ja väär, käsitlemine 

Karmo Talts

Vaatame, kuidas käsitleda hägusloogika abil väidet, et see pole selge, kas väide saab olla korraga tõene ja väär. Kui me näiteks ütleme, et vasturääkivus pigem ei saa olla korraga tõene ja väär, siis me ei saa seda väljendada nii, et me omistame vasturääkivusele tõeväärtuse 0,25, sest mõnel juhul võib olla selge või praktiliselt täiesti selge, et vasturääkivus on väär. Seega me saame käsitleda väidet, et väide pigem ei saa olla korraga tõene ja väär nii, et me loeme vasturääkivuse võimalikuks tõeväärtuste vahemikuks vahemikku nullist 0,25-ni.

Predikaadid, mille alusel ei saa moodustada hulkasid, ja ebakonsistentsus

Predikaadid, mille alusel ei saa moodustada hulkasid, ja ebakonsistentsus 

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi mõista seda, et mitte iga predikaadi P puhul ei saa moodustada hulka kõigist elementidest predikaadiga P. Üks võimalus seda mõista on, et kui kõigist elementidest predikaadiga P ei saa moodustada hulka, siis pole P konsistentne predikaat.

Vaatame nüüd selle tähendust loogika jaoks. Kui ei saa moodustada hulka kõigist elementidest predikaadiga P, siis on P ebakonsistentne. Kui P on ebakonsistentne, siis on (või võivad olla) P-d abil sõnastatud väited ebakonsistentsed. Seega juhul, kui ei saa moodustada hulka kõigist elementidest predikaadiga P, siis on (või võivad olla) P abil sõnastatud väited ebakonsistentsed.

Loogika, kus väitele omistatakse väärtus, mis ütleb, kas väitel on tõeväärtus ja juhul kui on, omistatakse teine väärtus, mis ütleb, milline on väite tõeväärtus

Loogika, kus väitele omistatakse väärtus, mis ütleb, kas väitel on tõeväärtus ja juhul kui on, omistatakse teine väärtus, mis ütleb, milline on väite tõeväärtus

Karmo Talts

 

Vaatame loogikat, kus väidetele omistatakse kaks eraldi väärtust. Esimene väärtus ütleb, kas väitel on tõeväärtus ja teine väärtus ütleb juhul, kui väitel on tõeväärtus, milline see tõeväärtus on.

Vaatame nüüd loogikatehteid. Kui vähemalt ühel konjunktsiooni osaväitel pole tõeväärtust, siis pole kogu konjunktsioonil tõeväärtust. Kui mõlemal konjunktsiooni osaväitel on tõeväärtus, siis konjunktsiooni tõeväärtus sõltub osaväidete tõeväärtusest.

Vaatame nüüd vasturääkivust. Vasturääkivus on väite P ja P eituse konjunktsioon. Seega saab vasturääkivus nii omada tõeväärtust, kui ka olla ilma tõeväärtuseta.

Vaatame nüüd selel tähendust eituse jaoks. Kui väitest P järeldub vasturääkivus, siis P-l kas ei ole kõige kõrgem tõeväärtus või P-l ei ole tõeväärtust.

Vaatame nüüd disjunktsiooni. Disjunktsioonil ei ole tõeväärtust juhul, kui disjunktsiooni mitte kummalgi osaväitel pole tõeväärtust. Kui disjunktsioonil on tõeväärtus, siis see sõltub ühe osaväite tõeväärtusest või juhul, kui mõlemal osaväitel on tõeväärtus, osaväidete tõeväärtustest.

Vaatame nüüd konditsionaali. Konditsionaalil on tõeväärtus siis, kui vähemalt ühel on tõeväärtus, konditsionaali eeldusel või konditsionaali järeldusel. Kui konditsionaali eeldusel pole tõeväärtust või konditsionaali eeldusel on tõeväärtus ja see on kõige madalam tõeväärtus ning konditsionaali järeldusel on tõeväärtus, siis on konditsionaal tühjalt tõene. Kui konditsionaali eeldusel on kõige kõrgem tõeväärtus ja järeldusel pole tõeväärtust või on järeldusel tõeväärtus, mis pole kõige kõrgem, siis on konditsionaal väär.  

Vasturääkivad andmed, kui järelduste tegemiseks kõlbmatu ressurss, ja identsus

Vasturääkivad andmed, kui järelduste tegemiseks kõlbmatu ressurss, ja identsus

Karmo Talts

 

Vaatame, mida tähendab identsuse loogikaseaduseks lugemine eeldustele eelduse, mis mõnele senisele eeldusele vastu räägib, lisamise seisukohast. P tõestab P. P ja P eitus tõestavad P. Mis tähendab, et kui meil on vasturääkivad eeldused P ja P eitus, siis P on järelduste tegemiseks saadaval. (Ilma koondamiseta loogikas on juhul, kui P ja P eitus on mõlemad ühe korra eelduste hulgas, siis on P ühe korra saadaval järelduste tegemiseks.)

Vaatame nüüd võimalusi vasturääkivaid andmeid käsitleda rikutud ressurssidena, mida ei tule kasutada järelduste tegemisel. Normaaljuhul on nii, et kui P, siis P. Kui me nõrgendame eeldusi mõnele olemasolevale eeldusele vasturääkiva eeldusega, siis pole üksteisele vasturääkivad eeldused enam järelduste tegemiseks saadaval.

Loogilise võimatuse käsitlemine mõttetusena ja väärus

Loogilise võimatuse käsitlemine mõttetusena ja väärus 

Karmo Talts

 

Vaatame ühte ebastandartset võimalust käsitleda väiteid, mille tõesus on loogiliselt võimatu. Sellised väited on mõttetud.

Vaatame nüüd selle tähendust tõeväärtuste jaoks. Mõttetutel väidetel pole tõeväärtust. Seega on eksitav lugeda väiteid, millse tõesus on loogiliselt võimatu, vääradeks väideteks.

Vaatame nüüd väärust. Kooskõlalised väited ei ole mõttetud, olgu nad tõesed või mitte. Seega on väär väide mitte-tõene väide, mille tõesus ei ole loogiliselt võimatu.

Tõendusteoreetiline lähenemine, mille järgi vasturääkivuse eituse tõestab tõene eeldus

Tõendusteoreetiline lähenemine, mille järgi vasturääkivuse eituse tõestab tõene eeldus 

Karmo Talts

Vaatame, kas vasturääkivuse seaduse ainus võimalik tõestusteoreetiline tõlgendus on, et vasturääkivus on paratamatult väär ja vasturääkivus tõestab vääruse. Kui seadust mõista ühelt poolt nii, et tõene väide tõestab vasturääkivuse eituse, siis sümmeetriliselt vasturääkivus tõestab tõese väite eituse.
Vaatame nüüd, kuidas selline tõlgendus motiveerib vääradest eeldustest lähtumise vältimise püüdlusi. Vääri eeldusi tuleb püüda vältida mitte selle pärast, et vähendada võimalusi tõestada midagi väära, vaid selleks, et vähendada võimalusi tõestada mõne tõese väite eitus.

Vasturääkivse plahvatavus ning suvalise järelduse ja vääruse disjunktsioon

Vasturääkivse plahvatavus ning suvalise järelduse ja vääruse disjunktsioon

Karmo Talts 

 

Vaatame, kas vasturääkivuse plahvatavuse saab taandada sellele, et vasturääkivusest tuleneb suvaline järeldus või vasturääkivusest tuleneb midagi väära. P-st ja P eituse konjunktsioonist saame me konjunktsiooni lihtsustamisel järeldada nii P, kui ka P eituse. P-st saame me sisse tuua P ja Q disjunktsiooni. P ja Q disjunktsiooni ja P eituse abil saame me disjunktiivset süllogismi kasutades järeldada Q. 

Vaatame nüüd, millise tõeväärtusega järelduse me tegime Q järeldamisel. Kui Q on tõene, siis me tegime tõese järelduse, et Q. Kui Q on väär, siis me järeldamise vääruse. Seega vasturääkivus tõestab Q või tõestab vääruse. 

Definitsioonidest tulenevad järeldused

Definitsioonidest tulenevad järeldused 

Karmo Talts 

 

Vaatame võimalusi teha definitsioonidest tulnevaid järeldusi. Kui X on defineeritud Y-ina ja Y-ist järeldub Z, siis X-ist järeldub definitsiooni järgi Z. Kui Y on evkivalentne Z-iga, siis X on definitsiooni järgi ekvivalentne Z-iga.

Vaatame nüüd, kuhu viib piiramatu definitsioonide lubamine. Kui X on defineeritud Y-ina ja Y-ist järeldub vasturääkivus, siis X-ist järeldub definitsiooni järgi vasturääkivus. Kui X on defineeritud Y-ina ja Y-ist on ekvivalentne vasturääkivusega, siis X on definitsiooni järgi ekvivalentne vasturääkivusega.

Järelduse relevantsuse mitte-formaalne kriteerium ja vasturääkivusest tulenevate järelduste relevantsus

Järelduse relevantsuse mitte-formaalne kriteerium ja vasturääkivusest tulenevate järelduste relevantsus 

Karmo Talts

 

Vaatame järelduste relevantsuse mitte-formaalseid kriteeriume. Kui väitest P järeldub väide Q ning P ja Q käivad ühe ja sama teema kohta, siis on Q P-st tulenev relevantne järeldus.

Vaatame nüüd selle tähendust vasturääkivuse jaoks. Iga väide Q, mis räägib samast teemast, mis P, on P ja P eituse konjunktsioonist tulenev relevantne järeldus.

Predikaat "tühjalt tõene", vasturääkivus ja disjunktsioonide staatus

Predikaat "tühjalt tõene", vasturääkivus ja disjunktsioonide staatus 

Karmo Talts

 

Võtame kasutusele predikaadi „tühjalt tõene”. Predikaadi „tühjalt tõene” sulgemine käib nii: väite P eitusest järeldame, et konditsionaal „kui P, siis Q” on tühjalt tõene.

Vaatame nüüd selle predikaadi vabastamist. Kui konditsionaal „kui P, siis Q” on tühjalt tõene, siis järeldame, et pole nii, et P.

Vaatame nüüd selle tähendust vasturääkivuse jaoks. Kui me ellimineerime P ja P eituse konjunktsiooni, saame me P eitusest järeldada, et konditsionaal „kui P, siis Q” on tühjalt tõene. Kui me modus ponensit kasutades järeldame suvalise järelduse, siis me kasutame selleks P-d ja konditsionaali, mis on kõigest tühjalt tõene.

Vaatame nüüd, kas modus ponensi piiramine juhul, kui vasturääkivuste tõttu oleme me järeldanud tühjalt tõese konditsionaali, lahendab vasturääkivuse plahvatavuse probleemi. Kuna me saame P-st sisse tuua P ja Q disjunktsiooni ja seejärel kasutada seda disjunktsiooni koos P eitusega suvalise järelduse tegemiseks, siis see nii pole.

Vaatame nüüd võimalust anda ka disjunktsioonidele rohkem kui üks staatus. Kui konditsionaal „kui pole nii, et P, siis Q” on tühjalt tõene, siis on P ja Q disjunktsioon tõene ja P on tõene. Seega juhul, kui P ja Q disjunktsioon tuuakse sisse P-st, siis tuleb disjunktsioonile rakendada seda kinnitav predikaat ja kui disjunktsioon tuuakse sisse Q-st, siis tuleb disjunktsioonile rakendada seda kinnitav predikaat. Disjunktiivset süllogismi saab kasutada siis, kui P ja Q disjunktsioon on tõene, P on väär ja disjunktsioon ei ole toodud sisse P-st.

Erinevat tüüpi väited ja loogikate ühendamine

Erinevat tüüpi väited ja loogikate ühendamine 

Karmo Talts

 

Vaatame, kas erinevaid loogikaid saab ühendada väidete tüüpidesse jagamise abil. Kui väide on kooskõlaline ja ei ole ebamäärane, siis me saame omistada sellele tüübi „klassikaline”. Klassikalise loogika teoreemid rakenduvad seda tüüpi väidetele ja osa neist rakendub väidetele, millel on selleks sobiv tüüp, mis erineb tüübist „klassikaline”.

Vaatame nüüd mitte-kooskõalisi väiteid. Võibolla tuleb need jagada erinevatesse tüüpidesse ja neile rakenduvad erinevate parakonsistentsete loogikate teoreemid. Kui neid ei tule jagada erinevatesse tüüpidesse, siis rakenduvad neile kõigi piisavalt kvaliteetsete parakonsistentsete loogikate teoreemid.

Vaatame nüüd ebamääraseid väiteid. Võibolla tuleb need jagada erinevatesse tüüpidesse ja ühtedele rakenduvad hägusloogikate või mõnede neist teoreemid, teistele supervaluatsionistlike loogikate või mõnede neist teoreemid jne. Kui neid ei tule jagada erinevatesse tüüpidesse, siis rakenduvad neile kõigi piisavalt kvaliteetsete ebamäärasuse käsitlemiseks loodud loogikate teoreemid.

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine 

Karmo Talts

 

Vaatame, mida tähendab eeldus, et tõelisi vasturääkivusi pole olemas, predikaatide defineerimise jaoks. Kui me defineerime predikaadi X predikaadina Y, ei tähenda see seda, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, vaid, et iga X on ekvivalentne Y-iga. Kui eeldusest, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, järeldub vasturääkivus, siis on X-ide hulk tühi.

Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi loogika, mis teeb vahet kooskõlalistel ja mitte-kooskõlalistel väidetel, loomiseks. Üks võimalus sellise loogika loomiseks on kasutada kooskõlaliste ja mittekooskõlaliste väidete jaoks eraldi muutujaid.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi väiteid. Mitte-kooskõlalist väidet ei saa asendada kooskõlalise väite muutujaga ja mitte-kooskõlalise väite puhul ei saa kasutada päris kõiki kooskõlalistele väidetele rakenduvaid teoreeme.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlaliste väidetele rakenduvaid teoreeme. Kuna vasturääkivuse seadus rakendub ainult kooskõlalistele väidetele ja eituse sissetoomine tuleneb vasturääkivuse seadusest, siis mitte kooskõlaliste väidetest ei saa eitust sisse tuua. Seega rakenduvad mitte-kooskõlalistele väidetele ainult klassikalise loogika positiivsed tehted.

Üldistame nüüd selle idee kõigile predikaatidele. Kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste predikaatide tähistamiseks tuleb kasutada erinevaid muutujaid. Väidete sõnastamisel saab mitte-kooskõlalistele predikaatidele rakendada ainult positiivseid tehteid.

Vasturääkivus ja stabiilsed tõeväärtused

Vasturääkivus ja stabiilsed tõeväärtused

Karmo Talts

 

Tõlgendame vasturääkivuse seadust nii: vasturääkivus pole stabiilselt tõene.

Vaatame nüüd väiteid, millest järeldub vasturääkivus. Kui P-st järeldub vasturääkivus, siis P-l pole stabiilset tõeväärtust või P-l on tõesusest erinev stabiilne tõeväärtus.

Normatiivne vasturääkivuse käsitlus

Normatiivne vasturääkivuse käsitlus 

Karmo Talts

 

Käsitleme vasturääkivust normatiivselt. Ei tohi väita, et üks ja sama väite on korraga tõene ja väär, sest vastasel juhul tohiks endale vastu rääkida.

Vaatame nüüd väiteid, millest järeldub vasturääkivus. Kui P-st järeldub vasturääkivus, siis ei tohi väita , et on nii, et P.

Predikaatide kooskõlalisus, väited ja tõde

Predikaatide kooskõlalisus, väited ja tõde  

Karmo Talts

 

Vaatame predikaate. Mõned neist on definitsiooni poolest kooskõlalised ja teised mitte-kooskõlalised.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi predikaate. Mitte-kooskõlaline predikaat P on ekvivalentne P eitusega.

Vaatame nüüd selle tähendust väidete jaoks. Väide P rakendab kas ainult kooskõlalisi predikaate või P rakendab vähemalt ühte mittekooskõlalist predikaati. Vähemalt osa mitte-kooskõlalisi predikaate kasutavatest väidetest pole ise kooskõlalised.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi väiteid. Mitte-kooskõlaline väide P on ekvivalentne P eitusega.

Vaatame nüüd tõega seotud küsimusi. Kui me loeme tõeväärtuslikuks ainult kooskõlalised väited, siis P mitte-kooskõlalisusest piisab selleks, et P-l puudub tõeväärtus. Kui me loeme tõeväärtuslikeks ka mitte-kooskõlalised väited, siis peavad meil olema vahendid nende tõeväärtuse käsitlemiseks.

Eitus sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel ja vasturääkivuse seadus

Eitus sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel ja vasturääkivuse seadus

Karmo Talts

 

Vaatame kuidas tõlgendada eitust sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel. P eitus tuletuse vasakul pool ütleb, et on väär P-d eeldada. P eitus tuletuse paremal pool ütleb, et on väär P-d järeldada.

Vaatame nüüd vasturääkivuse seadust. See jaguneb kaheks seaduseks, millest üks ütleb, et ei tohi eeldada, et väide on korraga tõene ja väär ning teine ütleb, et ei tohi järeldada, et väide on korraga tõene ja väär.

Vasturääkivusest tulenev suvaline järeldus, vasturääkivuse väärus ja koondamine

Vasturääkivusest tulenev suvaline järeldus, vasturääkivuse väärus ja koondamine 

Karmo Talts

 

Vaatame vasturääkivuse vääruse ja selle, et vasturääkivusest järeldub suvaline järeldus, seost. Mõned väidetest, mille vasturääkivus tõestab, on väärad. Seega on vasturääkivus väär.

Vaatame nüüd koondamiseta loogikat. Paaris arvu vasturääkivuse P∧¬P esinemisjuhte saab kasutada suvalise järelduse Q tegemiseks. Seega on koondamiseta loogikas paaris arvu vasturääkivuse P∧¬P esinemisjuhtude konjunktsioon väär.