Definitsioonidest tulenevad järeldused

Definitsioonidest tulenevad järeldused 

Karmo Talts 

 

Vaatame võimalusi teha definitsioonidest tulnevaid järeldusi. Kui X on defineeritud Y-ina ja Y-ist järeldub Z, siis X-ist järeldub definitsiooni järgi Z. Kui Y on evkivalentne Z-iga, siis X on definitsiooni järgi ekvivalentne Z-iga.

Vaatame nüüd, kuhu viib piiramatu definitsioonide lubamine. Kui X on defineeritud Y-ina ja Y-ist järeldub vasturääkivus, siis X-ist järeldub definitsiooni järgi vasturääkivus. Kui X on defineeritud Y-ina ja Y-ist on ekvivalentne vasturääkivusega, siis X on definitsiooni järgi ekvivalentne vasturääkivusega.

Järelduse relevantsuse mitte-formaalne kriteerium ja vasturääkivusest tulenevate järelduste relevantsus

Järelduse relevantsuse mitte-formaalne kriteerium ja vasturääkivusest tulenevate järelduste relevantsus 

Karmo Talts

 

Vaatame järelduste relevantsuse mitte-formaalseid kriteeriume. Kui väitest P järeldub väide Q ning P ja Q käivad ühe ja sama teema kohta, siis on Q P-st tulenev relevantne järeldus.

Vaatame nüüd selle tähendust vasturääkivuse jaoks. Iga väide Q, mis räägib samast teemast, mis P, on P ja P eituse konjunktsioonist tulenev relevantne järeldus.

Predikaat "tühjalt tõene", vasturääkivus ja disjunktsioonide staatus

Predikaat "tühjalt tõene", vasturääkivus ja disjunktsioonide staatus 

Karmo Talts

 

Võtame kasutusele predikaadi „tühjalt tõene”. Predikaadi „tühjalt tõene” sulgemine käib nii: väite P eitusest järeldame, et konditsionaal „kui P, siis Q” on tühjalt tõene.

Vaatame nüüd selle predikaadi vabastamist. Kui konditsionaal „kui P, siis Q” on tühjalt tõene, siis järeldame, et pole nii, et P.

Vaatame nüüd selle tähendust vasturääkivuse jaoks. Kui me ellimineerime P ja P eituse konjunktsiooni, saame me P eitusest järeldada, et konditsionaal „kui P, siis Q” on tühjalt tõene. Kui me modus ponensit kasutades järeldame suvalise järelduse, siis me kasutame selleks P-d ja konditsionaali, mis on kõigest tühjalt tõene.

Vaatame nüüd, kas modus ponensi piiramine juhul, kui vasturääkivuste tõttu oleme me järeldanud tühjalt tõese konditsionaali, lahendab vasturääkivuse plahvatavuse probleemi. Kuna me saame P-st sisse tuua P ja Q disjunktsiooni ja seejärel kasutada seda disjunktsiooni koos P eitusega suvalise järelduse tegemiseks, siis see nii pole.

Vaatame nüüd võimalust anda ka disjunktsioonidele rohkem kui üks staatus. Kui konditsionaal „kui pole nii, et P, siis Q” on tühjalt tõene, siis on P ja Q disjunktsioon tõene ja P on tõene. Seega juhul, kui P ja Q disjunktsioon tuuakse sisse P-st, siis tuleb disjunktsioonile rakendada seda kinnitav predikaat ja kui disjunktsioon tuuakse sisse Q-st, siis tuleb disjunktsioonile rakendada seda kinnitav predikaat. Disjunktiivset süllogismi saab kasutada siis, kui P ja Q disjunktsioon on tõene, P on väär ja disjunktsioon ei ole toodud sisse P-st.

Erinevat tüüpi väited ja loogikate ühendamine

Erinevat tüüpi väited ja loogikate ühendamine 

Karmo Talts

 

Vaatame, kas erinevaid loogikaid saab ühendada väidete tüüpidesse jagamise abil. Kui väide on kooskõlaline ja ei ole ebamäärane, siis me saame omistada sellele tüübi „klassikaline”. Klassikalise loogika teoreemid rakenduvad seda tüüpi väidetele ja osa neist rakendub väidetele, millel on selleks sobiv tüüp, mis erineb tüübist „klassikaline”.

Vaatame nüüd mitte-kooskõalisi väiteid. Võibolla tuleb need jagada erinevatesse tüüpidesse ja neile rakenduvad erinevate parakonsistentsete loogikate teoreemid. Kui neid ei tule jagada erinevatesse tüüpidesse, siis rakenduvad neile kõigi piisavalt kvaliteetsete parakonsistentsete loogikate teoreemid.

Vaatame nüüd ebamääraseid väiteid. Võibolla tuleb need jagada erinevatesse tüüpidesse ja ühtedele rakenduvad hägusloogikate või mõnede neist teoreemid, teistele supervaluatsionistlike loogikate või mõnede neist teoreemid jne. Kui neid ei tule jagada erinevatesse tüüpidesse, siis rakenduvad neile kõigi piisavalt kvaliteetsete ebamäärasuse käsitlemiseks loodud loogikate teoreemid.

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine

Tõeliste vasturääkivuste puudumine ja predikaatide defineerimine 

Karmo Talts

 

Vaatame, mida tähendab eeldus, et tõelisi vasturääkivusi pole olemas, predikaatide defineerimise jaoks. Kui me defineerime predikaadi X predikaadina Y, ei tähenda see seda, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, vaid, et iga X on ekvivalentne Y-iga. Kui eeldusest, et leidub X, mis on ekvivalentne Y-iga, järeldub vasturääkivus, siis on X-ide hulk tühi.

Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi loogika, mis teeb vahet kooskõlalistel ja mitte-kooskõlalistel väidetel, loomiseks. Üks võimalus sellise loogika loomiseks on kasutada kooskõlaliste ja mittekooskõlaliste väidete jaoks eraldi muutujaid.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi väiteid. Mitte-kooskõlalist väidet ei saa asendada kooskõlalise väite muutujaga ja mitte-kooskõlalise väite puhul ei saa kasutada päris kõiki kooskõlalistele väidetele rakenduvaid teoreeme.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlaliste väidetele rakenduvaid teoreeme. Kuna vasturääkivuse seadus rakendub ainult kooskõlalistele väidetele ja eituse sissetoomine tuleneb vasturääkivuse seadusest, siis mitte kooskõlaliste väidetest ei saa eitust sisse tuua. Seega rakenduvad mitte-kooskõlalistele väidetele ainult klassikalise loogika positiivsed tehted.

Üldistame nüüd selle idee kõigile predikaatidele. Kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste predikaatide tähistamiseks tuleb kasutada erinevaid muutujaid. Väidete sõnastamisel saab mitte-kooskõlalistele predikaatidele rakendada ainult positiivseid tehteid.

Vasturääkivus ja stabiilsed tõeväärtused

Vasturääkivus ja stabiilsed tõeväärtused

Karmo Talts

 

Tõlgendame vasturääkivuse seadust nii: vasturääkivus pole stabiilselt tõene.

Vaatame nüüd väiteid, millest järeldub vasturääkivus. Kui P-st järeldub vasturääkivus, siis P-l pole stabiilset tõeväärtust või P-l on tõesusest erinev stabiilne tõeväärtus.

Normatiivne vasturääkivuse käsitlus

Normatiivne vasturääkivuse käsitlus 

Karmo Talts

 

Käsitleme vasturääkivust normatiivselt. Ei tohi väita, et üks ja sama väite on korraga tõene ja väär, sest vastasel juhul tohiks endale vastu rääkida.

Vaatame nüüd väiteid, millest järeldub vasturääkivus. Kui P-st järeldub vasturääkivus, siis ei tohi väita , et on nii, et P.

Predikaatide kooskõlalisus, väited ja tõde

Predikaatide kooskõlalisus, väited ja tõde  

Karmo Talts

 

Vaatame predikaate. Mõned neist on definitsiooni poolest kooskõlalised ja teised mitte-kooskõlalised.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi predikaate. Mitte-kooskõlaline predikaat P on ekvivalentne P eitusega.

Vaatame nüüd selle tähendust väidete jaoks. Väide P rakendab kas ainult kooskõlalisi predikaate või P rakendab vähemalt ühte mittekooskõlalist predikaati. Vähemalt osa mitte-kooskõlalisi predikaate kasutavatest väidetest pole ise kooskõlalised.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi väiteid. Mitte-kooskõlaline väide P on ekvivalentne P eitusega.

Vaatame nüüd tõega seotud küsimusi. Kui me loeme tõeväärtuslikuks ainult kooskõlalised väited, siis P mitte-kooskõlalisusest piisab selleks, et P-l puudub tõeväärtus. Kui me loeme tõeväärtuslikeks ka mitte-kooskõlalised väited, siis peavad meil olema vahendid nende tõeväärtuse käsitlemiseks.

Eitus sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel ja vasturääkivuse seadus

Eitus sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel ja vasturääkivuse seadus

Karmo Talts

 

Vaatame kuidas tõlgendada eitust sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel. P eitus tuletuse vasakul pool ütleb, et on väär P-d eeldada. P eitus tuletuse paremal pool ütleb, et on väär P-d järeldada.

Vaatame nüüd vasturääkivuse seadust. See jaguneb kaheks seaduseks, millest üks ütleb, et ei tohi eeldada, et väide on korraga tõene ja väär ning teine ütleb, et ei tohi järeldada, et väide on korraga tõene ja väär.

Vasturääkivusest tulenev suvaline järeldus, vasturääkivuse väärus ja koondamine

Vasturääkivusest tulenev suvaline järeldus, vasturääkivuse väärus ja koondamine 

Karmo Talts

 

Vaatame vasturääkivuse vääruse ja selle, et vasturääkivusest järeldub suvaline järeldus, seost. Mõned väidetest, mille vasturääkivus tõestab, on väärad. Seega on vasturääkivus väär.

Vaatame nüüd koondamiseta loogikat. Paaris arvu vasturääkivuse P∧¬P esinemisjuhte saab kasutada suvalise järelduse Q tegemiseks. Seega on koondamiseta loogikas paaris arvu vasturääkivuse P∧¬P esinemisjuhtude konjunktsioon väär.

Võimalused väite eeldamise suhtes ja vasturääkivus

Võimalused väite eeldamise suhtes ja vasturääkivus
Karmo Talts

Vaatame võimalusi P eeldamise suhtes. Me kas eeldame P-d või aktiivselt eitame P-d või jätame P tõeväärtuse lahtiseks. Kahel viimasel juhul me ei eelda P-d.
Vaatame nüüd vasturääkivusi. Kui me korraga eitame ja jaatame P-d, siis me korraga eeldame P-d ja ei eita P-d. Sisuliselt pole seda võimalik teha.
Vaatame nüüd väiteid, millest järeldub vasturääkivus. Kui P-s järeldub vasturääkivus, siis me peame P-d mitte eeldama. Seega peame me vasturääkivuse korral P-d aktiivselt eitama või P tõeväärtuse lahtiseks jätma. 

Tühjade ja mitte-tühjade tõdede erinev käsitlemine

Tühjade ja mitte-tühjade tõdede erinev käsitlemine 

Karmo Talts

Vaatame argumente selle kasuks, et tühjalt tõeseid väiteid peaks käsitlema teisiti, kui mitte-tühjalt tõeseid väiteid. Ilma tõdede erinevust arvesse võtmata on kaks konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuhtu omavahel kooskõlas. Kui me võtame seda erinevust arvesse, siis on räägivad tühjalt tõene konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuht ja mitte-tühjalt tõene konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuht üksteisele vastu.
Vaatame nüüd modus ponensit. Kui konditsionaal "kui P, siis Q" on mitte-tühjalt tõene ja P, siis Q.  Kui konditsionaal "kui P, siis Q" on tühjalt tõene ja P, siis on tegemist vasturääkivusega.
Vaatame nüüd vasturääkivusest tulenevaid järeldusi. Vasturääkiva konjunktsiooni elimineerimisel saame me P ja P eituse.  Esimesest neist järeldub, et konditsionaal "kui P, siis P või Q" on mitte-tühjalt tõene ja teisest, et konditsionaal "kui P, siis P või Q" on tühjalt tõene. P eitus räägib esimesele konditsionaali esinemisjuhule vastu ja P räägib teisele konditsionaali esinemisjuhule vastu.
Vaatame nüüd koondamist. Kaks väite P esinemisjuhtu on samaväärsed siis, kui nende tõesus on ühte liiki. Kui P üks esinemisjuht on tühjalt tõene ja teine P esinemisjuht on mitte-tühjalt tõene, siis on tegu vasturääkivate P esinemisjuhtudega. 

Vasturääkivused andmetes, refleksiivsus ja konjunktsiooni ellimineerimine

Vasturääkivused andmetes, refleksiivsus ja konjunktsiooni ellimineerimine 

Karmo Talts

Vaatame vasturääkivatest andmetest järelduse tegemist praktika seisust. Me ei tea, kumb vasturääkivatest väidetest on tõene või milline vasturääkivuse osaväidetest on tõene.
Vaatame nüüd selle tähendust loogika jaoks. Vasturääkivate väidete korral andmetes tähendab refleksiivsuse kasutamine mõlema vasturääkiva väite kasutamist järelduste tegemisel, milleks meil pole alust. Kuna me ei tea, kumb neist väidetest on tõene, siis pole meil alust mitte kummagi puhul refleksiivsust kasutada. Otsese vasturääkivuse korral tähendab konjunktsiooni elimineerimine vasturääkivuse mõlema osaväite kasutamist järelduste tegemiseks, milleks meil pole alust.
Vaatame nüüd, kuidas tehniliselt läbi viia seda, et sellistes olukordades refleksiivsust või konjunktsiooni ellimineerimist vältida. Kui meil on loogika, kus nõrgendamine ei kehti juhul, kui eelduste või järelduste hulka laiendadatakse väitega, mis olemasolevatele eeldustele või järeldustele vastu räägib, siis me saame käsitleda refleksiivsust normaaljuhul kehtiva reegli või eeldusena. Kui nõrgendamine ei kehti juhul, kui eelduste või järelduste hulka laiendadatakse otsese vasturääkivusega, siis me saame käsitleda konjunktsiooni elimineerimist  normaaljuhul kehtiva reegli või eeldusena.

Vasturääkivuse plahvatavus ja tühjad tõed

Vasturääkivuse plahvatavus ja tühjad tõed 
Karmo Talts

Vaatame, kuidas on seotud tühjad tõed ja vasturääkivuse plahvatavus. Kui väide on P väär, siis on tühi tõde, et P-st järeldub suvaline järeldus Q. Sellest, et P on vasturääkiv, järeldub konjunktsiooni elimineerimisel, et P on väär. Sellest, et P on väär, järeldub, et konditsionaal "kui P, siis Q" on tühi tõde. Sellest, et P on vasturääkiv, järeldub konjunktsiooni elimineerimisel, et P. P-st ja konditsionaalist "kui P, siis Q" järeldub Q.

 

Vasturääkivuse tõlgendus, mille järgi vasturääkivus tõestab järelduse, mis pole tõene

 Vasturääkivuse tõlgendus, mille järgi vasturääkivus tõestab järelduse, mis pole tõene

 Karmo Talts
 

Tõlgendame vasturääkivust nii: vasturääkivus tõestab järelduse, mis pole tõene ja tõene järeldus tõestab vasturääkivuse eituse.
Vaatame nüüd rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikaid. Vasturääkivus ei tõesta tingimata väära järeldust, vaid järelduse, mille tõeväärtus erineb tõesusest. Näiteks tõestab meie tõlgendusele vastavas parakompliitses loogikas vasturääkivus väära järelduse või järelduse, mis pole tõene ega väär.

Disjunktsioon, koondamine ja vasturääkivus

Disjunktsioon, koondamine ja vasturääkivus

Karmo Talts 

 

Tõlgendamine koondamist disjunktsiooni kaudu. Väide P tõestab P ühe  ja P teise esinemisjuhu disjunktsiooni. Juhul, kui andmetes ei ole vasturääkivust, on need P esinemisjuhud samaväärsed.

Vaatame nüüd vasturääkivust. Kui me tuletame P ja P eituse konjunktsioonist P, siis me saame tõestada P ühe ja P teise esinemisjuhu disjunktsiooni. Me saame kasutada disjunktiivsets süllogismi, et P eitusest ja P ühe ja P teise esinemisjuhu disjunktsioonist tuletada üks P esinemisjuht. Seega pole need esinemisjuhud vasturääkivuse korral samaväärsed ja koondamise kasutamine pole õigustatud. 

Vasturääkivusest tulenevate järelduste sõltuvus teistest eeldustest ja nõrgendamise reegel

Vasturääkivusest tulenevate järelduste sõltuvus teistest eeldustest ja nõrgendamise reegel 

Karmo Talts 

 

Vaatame P-st ja P eitusest moodustatud vasturääkiva kojunktsiooni käitumist eeldusel, et väide Q, mis pole P-ga identne ja pole P eitusega identne, on väär. Kui me jõuame tuletuskäiguga punkti, kus me oleme ellimineerinud konjunktsiooni ja sisse toonud P ja Q disjunktsiooni, siis me võime sooritada tehted teises järejekorras ja kasutada Q eitust dsijunktiivses süllogismis P järeldamiseks.

Vaatame nüüd selle tähendust nõrgendamise jaoks. Kuna eelduste hulgale, kuhu kuulub P ja P eituse konjunktsioon, Q eituse lisades järeldused muutuvad, siis ei laiene nõrgendamise reegel vasturääkivatele väidete hulkadele. 

Loogika, kus väite eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume seda väidet eeldamast

Loogika, kus väite eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume seda väidet eeldamast 

Karmo Talts 

 

Vaatame võimalusi loogika, kus väite P eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume P-d eeldamast ja ilma täiendavate eeldusteta ei saa teha P-st tulenevaid järeldusi, loomiseks. Kui me eeldame, et on P väär või oleme P vääruse tõestanud, siis me peame hoiduma P-d eeldamast. 

Vaatame nüüd vasturääkivuse seadust. Väidet P on võimatu korraga eeldada ja mitte eeldada

Vaatame nüüd välistatud kolmanda küsimust. Me kas eeldame P-d või ei eelda P-d.

Vaatame nüüd eituse sissetoomist.Kui väitest P järeldub, et me peame korraga eeldama Q-d ja ei saa eeldada Q-d, siis me peame hoiduma P-d eeldamast.

Vaatame nüüd kahekordse eituse sissetoomist.Kui me tohime väidet P eeldada, siis pole keelatud P-d eeldada.

Vaatame nüüd disjunktsiooni sissetoomist. Kui P on tõene, siis me saame seda kasutada P ja Q disjunktsiooni sissetoomiseks. Kui P on väär, siis me ei saa seda kasutada P ja Q disjunktsiooni sisse toomiseks. Kuna P väärus tähendab kõigest seda, et me peame hoiduma P-d eeldamast, siis meil pole eitavate osaväidetega disjunktsioone. 

Vaatame nüüd konditsionaali. Kui P on väär või Q on väär, siis me ei saa neid kasutada konditsionaali "kui P, siis Q" tõestamiseks. Kuna me ei saa siis, kui P on väär, seda konditsionaali tõestada, siis ei ole meie loogikas tühjasid tõdesid. 

Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi. P väärus tähendab, et me peame hoiduma P-d eeldamast. See tähendab kõigest, et me ei saa kasutada P-d P ja Q disjunktsiooni sissetoomiseks, mitte seda, et me saaks P eitust koos P ja Q disjunktsiooniga kasutada Q järeldamiseks. 

Vasturääkivustest järelduv väärus ja nõrgendamine

Vasturääkivustest järelduv väärus ja nõrgendamine

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust nõrgendamise jaoks, et klassikalises loogikas järeldub P-d ja P eitust sisaldavast eelduste hulgast väärus. Me saame eelduste hulgast, millesse kuulub P, P-d ja P eitust sisaldava eelduste hulga sellele eelduste hulgale P eituse lisamisel ja eelduste hulgast, millesse kuulub P eitus, P-d ja P eitust sisaldava eelduste hulga sellele eelduste hulgale P lisamisel. Seega on õigustatud vasak-nõrgendamise piiramine senistele eeldustele vasturääkivate eelduste lisamisel.
Vaatame nüüd parem-nõrgendamist. Sümeetria huvides on õigustatud parem-nõrgendamise piiramine nii, et me ei saa lisada järelduste hulgale järeldusi, mis kasutavad eitusi ja räägivad vastu eelduste hulgas sisalduvatele eitusi kasutatavatele väidetele.