Piirang konditsionaalide tõestamisele ja Curry paradoks

Piirang konditsionaalide tõestamisele ja Curry paradoks 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise piirangu konditsionaalide tõestamisele: kui atomaarne lause P tõestab, et Q, siis P tõestab konditsionaali "kui P, siis Q" ja kui tõestatud konditsionaal P tõestab, et Q, siis P tõestab, et kui P, siis Q.
Vaatame nüüd Curry lauset C. C on iseenda eeldus ja ühtlasi konditsionaal. Seega selleks, et C ennast tõestaks, peab ta juba olema tõestatud, sest meie piirang lubab konditsionaalil tõestada konditsionaali, mille eelduseks ta on, ainult siis, kui ta ise on tõestatud. 

Paradoksaalsed väited ja nõrgendamine

Paradoksaalsed väited ja nõrgendamine 

Karmo Talts

Vaatame paradoksaalseid väiteid tõendusteooria seisukohast. Kui eelduste hulgast, mis sisaldab paradoksaalselt väidet P, järeldub P ja mitte-P konjunktsioon, siis eelduste hulgast, mis sisaldab P-d, järeldub nii P, kui mitte-P. Kui eelduste hulgast, mis sisaldab P-d, järeldub mitte-P, siis eelduste hulgast, milles esineb P kaks korda, ei järeldu mitte-P-d.
Vaatame nüüd selle tähendust. Ei leidu tõest väidet P, millest järeldub P ja mitte-P konjunktsioon või paradoksaalsete väidete puhul ei kehti nõrgendamine. 

Vasturääkivuse seadus ja väidete hulgad

Vasturääkivuse seadus ja väidete hulgad 

Karmo Talts

Vaatame võimalusi sõnastada vasturääkivuse seadus väidete hulkade kohta käivale kujule. Esmapilgul ei tohi väidete hulk korraga sisaldada väidet P ja P eitust, sest siis järeldub sellest väidete hulgast vasturääkivus. Vasturääkivus võib aga ka järelduda väidete hulgast, mis ei sisalda korraga P-d ja P eitust. Seega ei tohi kooskõlaline vädeite hulk sisaldada ka muid eeldusi, millest järeldub vasturääkivus

Konditsionaalid, mis on iseenda eelduseks, ja piirang tautoloogiaseaduse kasutamisele konditsionaali tõestamisel

Konditsionaalid, mis on iseenda eelduseks, ja piirang tautoloogiaseaduse kasutamisele konditsionaali tõestamisel

Karmo Talts

 

Vaatame arusaama, et konditsionaali "kui P, siis Q" saab sisse tuua siis, kui P-d saab kasutada Q tõestamiseks. Kuna tautologiaseaduse järgi järeldub iga väide iseendast, siis juhul, kui konditsionaal on iseenda eeldus, siis saab konditsionaali kasutada iseenda tõestamisel ja selle konditsionaali saab sisse tuua.
Sõnastame nüüd piirangu konditsionaali sissetoomisele. Kui P-d saab kasutada Q tõestamiseks ja pole tautoloogia, et P-st järeldub, et kui P, siis Q, siis saab sisse tuua konditsionaali "kui P, siis Q".
Vaatame nüüd konditsionaali tõesuse tõestamist. Kui pole tautoloogia, et P-st järeldub, et kui P, siis Q, siis me eeldame, et P ja tõestame, et Q.
Vaatame nüüd Curry lauset. See, et Curry lausest järeldub Curry lause, on tautoloogia. Seega me ei saa Curry lause tõesust tõestada juhul, kui Curry lausest ei järeldu ilma tautoloogiaseaduse abita Curry lause järeldus.

 

Väite eituse ja väite tõestatavuse suhe ja paradoksid

Väite eituse ja väite tõestatavuse suhe ja paradoksid 

Karmo Talts 

 

Vaatame P eitust P tõestatavuse seisukohast. Kui P eitus on tõene ja samas on P tõestatav, siis on väärus tõestatav. Seega P eitusest järeldub, et P-d pole võimalik tõestada.

Vaatame nüüd paradokse. Kui me saame korraga tõestada paradoksaalse väite eituse ja paradoksaalse väite, siis me saame korraga tõestada paradoksaalse väite ja tõestada, et me ei saa paradoksaalset väidet tõestada.

Vaatame nüüd ühte võimalust paradokse lahendada. Kui sellest, et atomaarsele lausele rakendub üks või paaritu arv eitusi, järeldub, et seda väidet pole võimalik tõestada, siis saab atomaarse väite eituse absurdsust tõestada ainult juhul, kui P-le ei rakendu paaritu arv eitusi.

 

 

 

Väidete hulgad ja tõde

Väidete hulgad ja tõde 

Karmo Talts 

 

Sõnastame järgmise arusaama tõesusest: eelduste hulgast gamma ja eeldusest, et P järeldub järelduste hulk alpha ja järeldus,et P on tõene ja  eelduste hulgast gamma ja eeldusest, et P on tõene, järeldub järelduste hulk alpha ja järeldus, et P.

Vaatame nüüd väärust. Eelduste hulgast gamma ja eeldusest, et pole nii, et P, järeldub järelduste hulk alpha, millesse järeldus, et P on tõene, ei kuulu ja eeldusest, et P on väär järeldub järelduste hulk alpha, millesse järeldus, et P, ei kuulu.

Sõnastame nüüd vasturääkivuse seaduse kuju, mis seda eristust arvesse võtab. Korraga ei saa olla nii, et P ja P on tõene ja nii, et P on väär või pole nii, et P.