Väite, et mingi hulk väiteid on väärad, tõesuse tingimuste küsimus

Väite, et mingi hulk väiteid on väärad, tõesuse tingimuste küsimus 

Karmo Talts

Vaatame, millal on väide x, mis väidab väite y väärust, tõene. Esmapilgul on see nii, kui y on väär. 
Vaatame nüüd juhte, kus x on y-iga identne. Kui x on tõene siis, kui y on väär, ja x on y-iga identne, siis on x tõene siis, kui x on väär.
Vaatame nüüd, kuidas seda tulemust vältida. Kui x väidab y-i väärust ja y on väär, siis on x tõene või sellest, et x on tõene järeldub vasturääkivus.
Üldistame nüüd selle väidete hulkadele. Kui x väidab, et kõik väited väidete hulgas gamma on väärad ja kõik väited väidete hulgas gamma on väärad, siis on x tõene või sellest, et x on tõene järeldub vasturääkivus.

Väidete, millele viitab väide P, hulk ja väidetele viitamisega seotud paradoksid

Väidete, millele viitab väide P, hulk ja väidetele viitamisega seotud paradoksid 

Karmo Talts

Vaatame väidetele viitamist viidatavate väidete hulkade seisukohast.  Ma nimetan väidete hulka, mille kõigile elementidele viitab väide P, väite P objekthulgaks. 

Vaatame nüüd valetajalauset L. L-i puhul kuulub L iseenda objekthulka.
Vaatame nüüd valetajastükli väiteid L1 ja L2. L1 kuulub L2 objekthulka ja L2 kuulub L1 objekthulka.
Üldistame nüüd. Valetajalause ja valetajatsüklite puhul kuuluvad väidetele viitavad väited nende väidete, mis kuuluvad nende objekhulka, objekthulka. 
Vaatame nüüd Yablo tsüklit. Iga Yablo tsükli väite objekthulgal on ühisosa iga teise Yablo tsükli väite objekthulgaga.
Vaatame nüüd Yablo tsükli ja valetajalause ja valetajatsüklite ühisosa. Tautoloogiaseaduse järgi on valetajalause L iseenda tarvilik tingimus. Valtejatsükli lause L2 väidab L1 tõesust ja seega on L2 L1 tarvilik tingimus. Seega kuulub üks L-i tarvilik tingimus L-i objekthulka ja üks L1 tarvilik tingimus kuulub L1 objekthulka. Kuna iga Yablo tsükli väite P tarvilik tigimus on see, et P-le järgnevate väidete hulga kõigi alamhulkade väited on väärad ja P-le järgenvad väited väidavad P-le järgnevate väidete hulga alamhulkadesse kuuluvate väidete väärust, siis iga Yablo lause P puhul on iga P-le järgneb väide P tarvilik tingimus ja kuulub P objekthulka.
Sõnastame nüüd nende paradokside ühisosa. Kui väite P objekthulka kuulub vähemalt üks P tarvilik tingimus ja P räägib sellele tarvilikule tingimusele vastu, siis tekib paradoks.

Tõde, modaalsused ja paradoksid

Tõde, modaalsused ja paradoksid 

Karmo Talts

Vaatame tõde modaalsuste seisukohast. Kuna siis, kui P on tõene, on P võimalik, siis P on tõene parajasti siis kui P ja P on võimalik. 
Vaatame nüüd väärust. P on väär parajasti siis, kui pole nii, et P või P võimatu.
Vaatame nüüd paradoksaalseid väiteid. Kui paradoksaalne väide on tõene, siis paradoksaalne väide on väär (ja on võimalik, et paradoksaalne väide on väär). Kui paradoksaalne väide  on väär, siis paradoksaalne väide on tõene või on võimalik, et paradoksaalne väide on tõene.

Vaatame nüüd võimalust, et on võimalik, et paradoksaalne väide on tõene. Sel juhul paradoksaalne väide ei pruugi olla tegelikult tõene ja paradoksi ei teki. 

Väite tähendus ja väite tõesuse tingimused

Lause tähendus ja väite tõesuse tingimused 
Karmo Talts

Sõnastame järgmise tõeskeemi: lause S abil väljendatud väide on tõene parajasti siis, kui on nii, et P, kus P on S-i tähendus.
Vaatame nüüd tähenduseta lauseid. Need ei väljenda kunagi tõeseid väiteid.

Väidetele viitavate väidete tähenduse fikseerimine

Väidetele viitavate väidete tähenduse fikseerimine 

Karmo Talts

Vaatame, kas leidub seletus, miks ei ole valetajalausel, valetajatüskli väidetele, Yablo tüskli väidetele jne. tähendust. Kui väide P viitab väitele Q, siis Q fikseerib P tähenduse. Seega juhul, kui P viitab tähenduseta väitele, siis puudub P-l tähendus.
Vaatame nüüd Q tähendust. Q ei viita väitele või viitab väitele. Kui Q viitab väitele, siis viitab tähendusega väitele või tähenduseta väitele.
Vaatame nüüd, kuidas väidete ahela, milles on vähemalt üks väide, mis viitab vähemalt ühele väitele, väited saavad tähenduse. Kui ahelasse kuulub väide P, mis ei viita mõnele väitele, siis P fikseerib talle viitava väite Q tähenduse. Kui ahelasse kuulub väide R, mis viitab väitele Q, siis Q fikseerib R-i tähenduse jne.

Vaatame nüüd tähenduseta väidete ahelaied.  Neisse ei kuulu ühtegi väidet, mis ei viita vähemalt ühele väitele. Seega pole neis ahelates mitte ühtegi väidet, mis mõne teise väide tähenduse fikseeriks. 

Predikaat, mis on väitel, mis väidab midagi tõest väite kohta, mis midagi tõest ei väida

Predikaat, mis on väitel, mis väidab midagi tõest väite kohta, mis midagi tõest ei väida

Karmo Talts

 

Vaatame predikaati "väide P väidab midagi tõest Q kohta, kui Q midagi tõest ei väida." See predikaat annab paradoksaalse tulemuse juhul, kui P on Q-ga identne või kui Q-st järeldub, et P on tõene.

Piirang väidete tõeväärtuste kohta väidete esitamisele

Piirang väidete tõeväärtuste kohta väidete esitamisele 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise piirangu väidete, mis käivad väidete tõeväärtuste kohta, sõnastamisele: väited väidete tõeväärtuste kohta peavad olema kujul "hulka gamma kuuluvatel väidetel on tõeväärtus x".
Vaatame nüüd üksiku väite P tõeväärtuse kohta väidete esitamist. Hulk gamma on sel juhul moodustatud ühest elemendist, väitest P.
Vaatame nüüd selle tähendust enesele viitavate väidete jaoks. Kuna väidete hulk pole väide, siis ei saa sõnastada enese tõeväärtuse kohta väiteid esitavaid väiteid.

Tõeväärtuseta väited ja paradoksid

Tõeväärtuseta väited ja paradoksid 

Karmo Talts 

 

Vaatame selle tähendust, et tõesus ja väärus on tõeväärtused, välistatud kolmanda seaduse jaoks Välistatud kolmanda seaduse järgi on kõigil väidetel tõeväärtus.

Üldistame nüüd selle arusaama teistuguste tõeväärtuste arvuga loogikate jaoks. Kõigil väidetel on tõeväärtus.

Vaatame nüüd alternatiivset vaadet. Mõnedel väidetel pole tõeväärtust

Vaatame nüüd tõeväärtuseta väidete ja nende väidete kohta käivate väidete suhet. Kuna tõeväärtuseta väidetel pole tõeväärtust, mis saaks mõne teise väite tõeväärtusele vastu rääkida, siis ei pole neil ka tõeväärtust, mis saaks rääkida vastu nende enda kohta käivate väidete tõeväärtusele.

Vaatame nüüd paradoksaalseid väiteid. Kui pradoksaalsel väitel P pole tõeväärtust, siis pole paradoksaalsel väitel P tõeväärtust, mis räägiks vastu vähemalt ühe väite Q, mis käib P tõeväärtuse kohta, tõeväärtusele.

Valetajalause, väide "valetajalause on väär" ja paradoksaalsete väidete tõetingimused

Valetajalause, väide "valetajalause on väär" ja paradoksaalsete väidete tõetingimused 

Karmo Talts 

 

Vaatame selle, et valetajalausest saab identsust kasutades järeldada, et  valetajalause on väär, kontrapositsiooni. Kui valetajalause pole väär, siis pole nii nagu valetajalause ütleb.

Vaatame nüüd selle, et valetajalause eitusest saab identsust kasutades järeldada, et  valetajalause pole väär, kontrapositsiooni. Kui valetajalause on väär, siis on nii nagu valetajalause ütleb.
Vaatame nüüd oma tulemuste tähendust valetajalasue tõetingimuste jaoks. Need tulemused räägivad Tarski skeemile vastu. Seega Tarski skeem ei sõnasta väidete, millest identsust kasutades järeldub nende väärus, tõetingimusi. 

Võimalus, et väide ja väite eitus saavad mõlemad olla korraga väärad ja paradoksid

Võimalus, et väide ja väite eitus saavad mõlemad olla korraga väärad ja paradoksid 

Karmo Talts

Vaatame paradoksaalseid väiteid, mille puhul nii väitest, kui väite eitusest järeldub vasturääkivus eituse sissetoomise seisukohast. Võibolla on mõned väited ja nende eitused mõlemad väärad.
Vaatame nüüd selle võimaluse tähendust. Nii väitest, kui väite eitusest järeldub sel juhul vähemalt üks väär järeldus ja seega ei ole meil põhjus kummastki tulenevaid järeldusi usaldada.

Predikaadi kooskõlalisus

Predikaadi kooskõlalisus 

Karmo Talts
 

Vaatame predikaadi kooskkõlalisust. Predikaat P on kooskkõlaline siis, kui mistahes objekti puhul saab ilma vasturääkivustesse sattumata omistada predikaadi P või saab ilma vasturääkivustesse sattumata eitada, et objektil on predikaat P.
Vaatame nüüd väiteid. Väide kasutab kooskõlalisi predikaate või väide kasutab mitte-kooskõlalisi predikaate objektide kohta, mille puhul neid on võimalik vasturääkivustesse sattumata rakendada või mille puhul on võimalik vasturääkivustesse sattumata eitada, et objektidel on need predikaadid või väide kasutab mitte-kooskõlalise predikaate objektide puhul, mille puhul pole võimalik neid vasturääkivustesse sattumata rakendada või mille puhul pole võimalik vasturääkivustesse sattumata eitada, et objektidel on need predikaadid. Viimasel juhul pole ei väide ega väite eitus kooskõlalised.
Vaatame nüüd, kas on võimalik sõnastada loogikaseadus, mis seda arvesse võtab. Mitte-kooskõlisi predikaate ei tohi ilma piiranguteta väidete sõnastamisel kasutada, muidu tekib paradoks.

Võimaluse, et mõned vasturääkivused pole ei tõesed ega väärad, lubamine

Võimaluse, et mõned vasturääkivused pole ei tõesed ega väärad, lubamine

Karmo Talts

 

Eeldame, et vasturääkivus on väär või pole ei tõene ega väär. Sel juhul erinevad teoreemid, mis käsitlevad eeldusi, millest järeldub vasturääkivus, klassikalistest.

Vaatame nüüd eituse sisse toomist. Kui väitest järeldub vasturääkivus, siis on väide väär või pole ei tõene ega väär. 

Vaatame nüüd absurdi tõestamist. Kui väite eitusest järeldub vasturääkivus, siis on väide tõene või pole ei tõene ega väär.

Paradoksaalsete väidete tõeväärtuse suhtelisus

Paradoksaalsete väidete tõeväärtuse suhtelisus

Karmo Talts 

 

Vaatame, kas paradokside tõesuse ja vääruse saab relativiseerida. Kui asjad on nii, nagu valetajalause ütleb, siis ta on selles suhtes tõene, et asjad on nii nagu ta ütleb ja selles suhtes väär, et tekib vasturääkivus. Kui asjad pole nii, nagu valetajalause ütleb, siis ta on nii selles suhtes väär, et asjad pole nii nagu ta ütleb,  kui ka selles suhtes väär, et tekib vasturääkivus. See tähendab, et ta pole mingis suhtes tõene.

Predikaadi kooskõlalisus

Predikaadi kooskõlalisus 

Karmo Talts 

 

Sõnastame järgmise arusaama predikaadi kooskõlalisusest: predikaat P on absoluutselt kooskkõlaline siis, kui iga objekti puhul saab objektile omistada predikaadi P või eitada, et objektil on predikaat P. Predikaat P on suhteliselt kooskkõlaline siis, kui leidub hulk objekte, millele saab omistada predikaadi P või eitada, et objektil on predikaat P. Ja predikaat P on absoluutselt vasturääkiv siis, kui mitte ühelegi objektile ei saa omistada predikaati P.

Vaatame nüüd paradokse. Paljud paradoksid põhinevad suhteliselt kooskkõlaliste predikaatide kasutamisel objektide kohta, mis ei kuulu hulka, mille elementidele saab omistada predikaati P või mille puhul saab eitada, et neil predikaat P.

 

 

Piirang atomaarsete paradoksaalsete väidete kasutamisele

Piirang atomaarsete paradoksaalsete väidete kasutamisele

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmise piirangu paradoksaalsetele väidete kasutamisele: kui atomaarne väide P on paradoksaalne, siis tuleb P asendada tuletuskäigus mõne ekvivalentse keerukama väitega.
Toome näite. Asendame valetajalause konjunktsiooniga "on nii, nagu väide "see väide on väär" ütleb ja väide "see väide on väär" tõene". Konjunktsiooni lihtustamisel  me saame "on nii, nagu valetajalause ütleb". Identsust kasutades saame me "väide "see väide on väär" on väär". Me saame sisse tuua konjunktsiooni "väide "see väide on väär" on tõene ja "väide "see väide on väär" on väär". Me saame sisse tuua konjunktsiooni "on nii, nagu väide "see väide on väär" ütleb või on väide "see väide on väär" tõene" eituse.
Eeldame nüüd, et on nii, nagu ütleb valetajalause eitusega ekvivalentne disjunktsioon "pole nii, nagu väide "see väide on väär" ütleb või pole väide "see väide on väär" tõene". Vasturääkivust ei teki.

Paradoksaalsete väidete tõeväärtuse tõestatavus

Paradoksaalsete väidete tõeväärtuse tõestatavus
Karmo Talts

Vaatame selle tingimusi, et me saame tõestada paradoksaalse väite P tõeväärtuse. Selleks on vaja, et üks väidetest P tõeväärtuste kohta oleks tõestatav. 
Vaatame nüüd selle tähendust, kui mistahes tõeväärtuse x korral järeldub sellest, et on tõestatav, et P tõeväärtus on x, vasturääkivus. See tähendab, et P tõeväärtus ei ole tõestatav. 

Väide, millest järeldub vasturääkivus, ja suvalise väite eitus

Väide, millest järeldub vasturääkivus, ja suvalise väite eitus 

Karmo Talts

Vaatame väidet P, millest järeldub vasturääkivus, selle seisukohast, et vasturääkivusest järeldub suvaline järeldus. Transitiivselt järeldub sellest, et P-st järeldub suvaline väide.
Vaatame nüüd konditsionaali "kui P, siis Q" kontrapositsiooni. Selleks on, et kui pole nii, et Q, siis pole nii, et P. St., et suvalise väite eitus räägib väitele, millest järeldub vasturääkivus, vastu.
Vaatame nüüd selle tähendust paradokside jaoks. Kui leidub vähemalt üks väär väide, siis räägivad paradoksaalsed väited selle väite eitusele vastu.

Tõestatavuse skeem ja paradoksid

Tõestatavuse skeem ja paradoksid

Karmo Talts

 

Sõnastame Tarski skeemist nõrgema skeemi "väide, et P on tõene, on tõestatav parajasti siis, kui P on tõestatav".

Vaatame nüüd, kas paradoksaalsed väited on tõestatavad. Kuna juhul, kui nad on tõestatavad, siis on vasturääkivus tõestatav, pole paradoksaalsed väited tõestatavad. 

Väidetele, milles esinevad nimed, nimede panemine

Väidetele, milles esinevad nimed, nimede panemine

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmise piirangu väidete nimetamisele: väitele, mis ei kasuta nimesid, võib panna nime. Väitele, mis kasutab ainult väidete, mis ei kasuta nimesid, nimesid, võib panna nime. Väitele, mis kasutab ainult väidete, mis kasutavad ainult väidete, mis ei kasuta nimesid, nimesid, võib panna nime. Jne.

Vaatame nüüd valetaja paradoksi- Valetajalause ei ole väide, mis ei kasuta nimesid. Valetajalause ei ole väide, mille nimi on pandud väitele, mis kasutab nimesid lubatud viisil.

Vaatame nüüd valetajatsükleid. Kumbki tsükli väidtest ei ole väide, mis ei kasuta nimesid. Kumbki tsükli väide ei ole väide, mille nimi on pandud väitele, mis kasutab nimesid lubatud viisil.

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmise piirangu väidete nimetamisele: väitele, mis ei kasuta nimesid, võib panna nime. Väitele, mis kasutab ainult väidete, mis ei kasuta nimesid, nimesid, võib panna nime. Väitele, mis kasutab ainult väidete, mis kasutavad ainult väidete, mis ei kasuta nimesid, nimesid, võib panna nime. Jne.

Vaatame nüüd valetaja paradoksi- Valetajalause ei ole väide, mis ei kasuta nimesid. Valetajalause ei ole väide, mille nimi on pandud väitele, mis kasutab nimesid lubatud viisil.

Vaatame nüüd valetajatsükleid. Kumbki tsükli väidtest ei ole väide, mis ei kasuta nimesid. Kumbki tsükli väide ei ole väide, mille nimi on pandud väitele, mis kasutab nimesid lubatud viisil.

Valetaja paradoksi matemaatilised analoogid

Valetaja paradoksi matemaatilised analoogid 

Karmo Talts

Vaatame võrrandit x+1=y, mille nimeks on x. Kui sellele võrrandile on lubatud panna selline nimi, siis me saame x-i asendamisel võrrandis (x+1=y)+1=y, x-i järgmisel asendamisel ((x+1=y)+1)+1=y jne.

Vaatame nüüd selle tähendust. Kas leiduvad valetaja paradoksi matemaatilised analoogid või ei ole lubatud väidetele suvalisi nimesid panna.