Väärus, tõde ja tõestatavus

Väärus, tõde ja tõestatavus 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise tõeskeemi: P on väär parajasti siis, kui pole nii, et P või P pole tõestatav.
Vaatame nüüd tõesust: P on tõene parajasti siis, kui P ja P on tõestatav.
Vaatame nüüd paradoksaalseid väiteid. Kui paradoksaalne väide on tõene, siis ta on väär ja in tõestatav, et ta on väär. Kui paradoksaalne väide on väär, siis ta pole väär või  pole tõestatav, et ta on väär. Viimane võimalus, et paradoksaalne väide on väär ja pole tõestatav et ta on väär, pole paradoksaalne.
Vaatame nüüd selle vaate puudusi. Tõestamatud väited pole tõesed.
Võtame nüüd oma uurimuse tulemused kokku. See, kas kasutada tõeskeemi kujul, P on tõene parajasti siis, kui on nii, et P ja P on tõestatav, sõltub sellest, kumb on meile olulisem, kas paradokside lahendamine või tõestatavusest sõltumatu tõesus.

Piirang konditsionaalide tõestamisele ja Curry paradoks

Piirang konditsionaalide tõestamisele ja Curry paradoks 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise piirangu konditsionaalide tõestamisele: kui atomaarne lause P tõestab, et Q, siis P tõestab konditsionaali "kui P, siis Q" ja kui tõestatud konditsionaal P tõestab, et Q, siis P tõestab, et kui P, siis Q.
Vaatame nüüd Curry lauset C. C on iseenda eeldus ja ühtlasi konditsionaal. Seega selleks, et C ennast tõestaks, peab ta juba olema tõestatud, sest meie piirang lubab konditsionaalil tõestada konditsionaali, mille eelduseks ta on, ainult siis, kui ta ise on tõestatud. 

Tõestused, et valetajalause ja valetajalause eitus pole tõestatavad

Tõestused, et valetajalause ja valetajalause eitus pole tõestatavad 

Karmo Talts

Tõestame, et valetajalause pole tõestatav. Kui valetajalause on tõestatav, siis on valetajalause tõene. Kui valetajalause on tõene, siis on valetajalause on korraga tõene ja väär. Kasutame nüüd transitiivsust. Kui valetajalause on tõestatav, siis valetajalause on korraga tõene ja väär. Toome nüüd sisse eituse. Valetajalause pole tõestatav.

Tõestame nüüd, et valetajalause eitus pole tõestatav. Kui valetajalause eitus on tõestatav, siis on valetajalause väär. Kui valetajalause on väär, siis valetajalause on korraga tõene ja väär. Kasutame nüüd transitiivsust. Kui valetajalause eitus on tõestatav, siis valetajalause on korraga tõene ja väär. Toome nüüd sisse eituse. Valetajalause eitus pole tõestatav.

Ebamäärasus ja intuitsionistlik loogika

Ebamäärasus ja intuitsionistlik loogika

Karmo Talts

 

Käsitleme seda, et pole selge, kas x-l on predikaat P, nii: me ei saa tõestada, et x-l on predikaat P.

Kasutame nüüd intuitsionisltikku loogikat. Me ei saa tõestada, et x-l on predikaat P ja me ei saa tõestada, et x-l pole predikaati P. Seega me ei, saa väita, et x-l on predikaat P või x-il pole predikaati P. Küll saame me väita väite "x-l on predikaat P" intuitsionistliku eituse ja sama väitte intuitionistliku kahekordse  intuitionistliku eituse disjunktsiooni. 

Tõestus, et P on tõene parajasti siis, kui P-st ei järeldu vasturääkivus

Tõestus, et P on tõene parajasti siis, kui P-st ei järeldu vasturääkivus

Karmo Talts

Tõestame, et kui P-st ei järeldu vasturääkivus, siis on P tõene. 

Eeldame, et P-st ei järeldu vasturääkivus. Siis on konditsionaaliga "kui P, siis Q ja pole nii, et Q" ekivalvalentne disjunktsioon "pole nii, et P või Q ja pole nii, et Q" väär.
Vaatame nüüd selle disjunktsiooni eitusega ekvivalentset konjunktsiooni. P ja pole nii, et Q ja pole nii, et Q. 
Lihtsustame nüüd selle konjuktsiooni. P.
Kasutame nüüd transitiivsust. Kui P-st ei järeldu vasturääkivus, siis P.

Tõestame nüüd, et kui P on tõene, siis P-st ei järeldu vasturääkivus.

Eeldame, et P on tõene ja P-st järeldub vasturääkivus. Siis me saame modus ponensit kasutades järeldada vasturääkivuse.

Toome nüüd sisse eituse. Pole nii, et P on tõene ja P-st järeldub vasturääkivus.

Toome nüüd konditsionaalidest "kui P-st ei järeldu vasturääkivus, siis on P tõene" ja  "kui P on tõene, siis P-st ei järeldu vasturääkivus" sisse bikonditsionaali. P on tõene parajasti siis, kui P-st ei järeldu vasturääkivus.

 

Välistatud kolmanda seadus ja väidete tõestatavus

Välistatud kolmanda seadus ja väidete tõestatavus 

Karmo Talts

Sõnastame ettevaatlikuma variandi välistatud kolmanda seadusest, mis ütleb, et kui väite tõeväärtus on tõestatav, siis on väide on tõestatavalt tõene või tõestatavalt väär.
Sõnastame nüüd sellega kokku sobiva variandi vasturääkivuse seadusest. Väide ei saa olla korraga tõestatavalt tõene ja tõestatavalt väär.
Vaatame nüüd eituse sissetoomise analoogi. Kui väitest järeldub vasturääkivus, siis on väide tõestatavalt väär või ei ole väite tõeväärtus tõestatav.

Väite tõeväärtuse tõestatavus ja loogika praktiline tähtsus

Väite tõeväärtuse tõestatavus ja loogika praktiline tähtsus 

Karmo Talts

Vaatame seda, kas sellel, kas klassikalise loogika seadused kehtivad, on praktilist tähtsust. Isegi siis, kui leidub tõelisi vasturääkivusi, aga neid ei saa tõestada, ei saa me tõestada vasturääkivust. Seega võib praktika seisukohast asendada vasturääkivuse seaduse seadusega, et vasturääkivust pole võimalik tõestada.
Vaatame nüüd välistatud kolmanda seadust. Kõigi väidete tõeväärtust pole võimalik tõestada. Seega võib praktika seisukohast asendada välistatud kolmana seaduse seadusega, mis näeb ette võimaluse, et väite tõeväärtust ei saa tõestada.
Vaatame nüüd paradokse. Kui väitest P järeldub absurdus, siis on väide P tõestatavalt väär või väite P tõeväärtust ei saa tõestada.

Paradoksaalsete väidete tõeväärtuse tõestatavus

Paradoksaalsete väidete tõeväärtuse tõestatavus
Karmo Talts

Vaatame selle tingimusi, et me saame tõestada paradoksaalse väite P tõeväärtuse. Selleks on vaja, et üks väidetest P tõeväärtuste kohta oleks tõestatav. 
Vaatame nüüd selle tähendust, kui mistahes tõeväärtuse x korral järeldub sellest, et on tõestatav, et P tõeväärtus on x, vasturääkivus. See tähendab, et P tõeväärtus ei ole tõestatav. 

Tõestatavuse skeem ja paradoksid

Tõestatavuse skeem ja paradoksid

Karmo Talts

 

Sõnastame Tarski skeemist nõrgema skeemi "väide, et P on tõene, on tõestatav parajasti siis, kui P on tõestatav".

Vaatame nüüd, kas paradoksaalsed väited on tõestatavad. Kuna juhul, kui nad on tõestatavad, siis on vasturääkivus tõestatav, pole paradoksaalsed väited tõestatavad. 

Koondamine, väär väide ja vasturääkivus

Koondamine, väär väide ja vasturääkivus

Karmo Talts

 

Vaatame eituse sissetoomist. Kui me oleme kasutanud P-d vasturääkivuse järeldamiseks, P-d ja vasturääkivust kasutanud konditsionaali P→Q∧¬Q järeldamiseks ja seda konditsionaali kasutanud P eituse järeldamiseks, siis juhul, kui me saame kasutada piiramatult koondamist, siis me saame kasutada vasturääkivust P eituse ja vasturääkivuse konjunktsiooni järeldamiseks. Seega ei saa vasturääkivust kasutada korduvalt järelduste tegemiseks.

Vaatame nüüd väära väite korduvat kasutamist järelduste tegemiseks. Kui me saame P-d kasutada korduvalt järelduste tegemiseks, siis me saame meie eleenva tuletuskäigu järel sisse tuua P ja P eituse konjunktsiooni. Seega ei saa väära väidet kasutada korduvalt järelduste tegemiseks.

Vaatame nüüd, kas me oleme ülal olevas tuletuskäigu kasutanud väära väidet korduvalt järelduste tegemiseks. Me oleme seda kasutanud teisel korral  konditsionaali P→Q∧¬Q järeldamiseks. Seega ei pruugi eituse sissetoomise teine pool olla kehtiv tuletuskäik. 

Ekvivalentsete väidete asendamine mõttekäigus ja paradoksaalsed tuletuskäigud

Ekvivalentsete väidete asendamine mõttekäigus ja paradoksaalsed tuletuskäigud 

Karmo Talts

 

Vaatame selle, et kui mõttekäik kehtib, siis saab kõik väited mõttekäigus asendada nendega ekvivalentsete väidetega, tähendust paradokside jaoks. Kui väide, et valetajalause on tõene on tõesti ekvivalentne väitega, et valatajalause on väär, siis on väide, et valetajalause on tõene, ekvivalentne väitega, et valetajalause on tõene ja väär. Siis saab selle, et valetajalause on väär, tõestuses asendada eelduse, et valetajalause on tõene, eeldusega, et valetajalause on tõene ja valetajalause on väär. Seega algab selle tõestus, et valetajalause on väär, otsese vasturääkivusega ja kas ei kehti või ei ole väide, et valetajalause on tõene ekvivalentne väitega, et valetajalause on väär.

Tõestus, et kui X on tõene, siis X pole ekvivalentne X on vääraga

Tõestus, et kui X on tõene, siis X pole ekvivalentne X on vääraga 

Karmo Talts 

 

Tõestame, et kui X  on tõene, siis pole X ekvivalentne X on väär-aga.

Eeldame, et X.

Eeldame, et X on ekvivalentne X on väär-aga.  

Asendame X-i ekvivalentse väitega. X on väär..

Toome sisse konjunktsiooni. X ja X on väär. See on vasturääkivus.

Kasutame transitiivsust. Eeldustest, et X ja X  X ekvivalentne X on väär-aga järeldub vasturääkivus.

Toome siis eituse. Pole nii, et X ja X on ekvivalentne X on väär-aga.

Tõestus, et tõelisi vasturääkivusi ei leidu

Tõestus, et tõelisi vasturääkivusi ei leidu

Karmo Talts

 

Vaatame vasturääkivuse plahvatavust. Vasturääkivusest järeldub suvaline järeldus. Seega siis, kui on nii, et P ja pole nii, et P, siis minu nimi pole Karmo Talts.

Kasutame nüüd modus tollensit. Minu nimi on Karmo Talts. Järelikult pole nii, et P ja pole nii, et P.

Selle, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivuse eitus, tõestus, ja andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemine

Selle, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivuse eitus, tõestus, ja andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemine

Karmo Talts

 

Vaatame, kas loogikas, mis ei luba vasturääkivusi, on võimalik tõestada, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivuse eitus. Tautoloogiseaduse järgi järeldub vasturääkivusest vasturääkivus. Eituse sissetoomise järgi järeldub sellest, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivus, vasturääkivuse eitus.

Vaatame nüüd ühte teist võimalust selle tõestamiseks. Vasturääkivuse seadusest saab disjunktsiooni sissetoomist kasutades järelduda vasturääkivuse eituse ja vasturääkivuse eituse disjunktsiooni. Disjunktsioonist "väide pole vasturääkiv või väide pole vasturääkiv" saab ekvivalentuse põhjal järeldada konditsionaali "kui väide on vasturääkiv, siis väide pole vasturääkiv".

Vaatame nüüd kolmandat võimalust selle tõestamiseks. Vasturääkivuse seadusest saab ühte materiaalse konditsionaali paradoksidest kasutades järeldada, et kui väide on vasturääkiv, siis väide pole vasturääkiv. 

Vaatame nüüd, kas seda teoreemi saab kasutada andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemiseks. Koondamisega loogikas saame me see järel, kui me oleme vastusrääkivust kasutanud vasturääkivuse eituse järeldamiseks, vasturääkivust uuesti kasutada, et teha mõni teine järeldus. Seega peab loogika, mis kasutab andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemiseks teoreemi "kui väide on vasturääkiv, siis väide pole vasturääkiv", olema ilma koondamiseta loogika.