Tõestus, et kui X on tõene, siis X pole ekvivalentne X on vääraga
Karmo Talts
Tõestame, et kui X on tõene, siis pole X ekvivalentne X on väär-aga.
Eeldame, et X.
Eeldame, et X on ekvivalentne X on väär-aga.
Asendame X-i ekvivalentse väitega. X on väär..
Toome sisse konjunktsiooni. X ja X on väär. See on vasturääkivus.
Kasutame transitiivsust. Eeldustest, et X ja X X ekvivalentne X on väär-aga järeldub vasturääkivus.
Toome siis eituse. Pole nii, et X ja X on ekvivalentne X on väär-aga.
Tõe vastavusteooria ja tegelikkusele vastamine, kui kahekohaline predikaat
Karmo Talts
Vaatame tõesust tõe vastavusteooria seisukohast. Tõesus pole mitte ühekohaline predikaat, mis kuulub väitele, vaid kahekohaline predikaat, mis seisneb väite vastavuses tegelikkusele.
Vaatame nüüd selle tähendust vääruse jaoks. P on väär parajasti siis, kui pole nii, et leidub P, mille ja ainsa tegelikkuse puhul P vastab sellele tegelikkusele.
Vaatame nüüd selle tähendust diagonaliseerimise jaoks. Kui just diagonaliseerimise abil ei saa tõestada, et leidub X, mis on ekvivalentne kahekohalise predikaadi "leidub X, mille ja ainsa tegelikkuse puhul X vastab sellele tegelikkusele", eitusega, siis diagonaliseerimine ei võimalda valetajalause leidumist tõestada.
Diagonaliseerimise võimalikkuse tingimused ja üks võimalik paradokside lahendus
Karmo Talts
Vaatame diagonaliseerimise ja välistatud kolmanda seaduse suhet. Kui on võimalik diagonaliseerimise abil sõnastada enesele viitavaid väiteid, siis leidub väiteid, millest järeldub vasturääkivus ja mille eitusest järeldub samuti vasturääkivus. Kui leidub väiteid, millest järeldub vasturääkivus ja mille eitusest järeldub samuti vasturääkivus ja kehtib välistatud kolmanda seadus, siis leidub tõelisi vasturääkivusi.
Vaatame nüüd teisi võimalikke lahendusi selle kõrval, et leidub tõelisi vasturääkivusi või välistatud kolmanda seadus ei kehti. Diagonaliseerimist võimaldab Robinsoni aritmeetikaga täiendatud esimese järgu loogika. Esimese järgu loogika on kooskõlaline. Seega siis, kui kehtib välistatud kolmanda seadus ja tõelisi vasturääkivusi ei leidu, Robinsoni aritmeetika ei ole kooskkõlaline või räägivad Robinsoni aritmeetika ja esimese järgu loogika teineteisele vastu.
Väidete tüüp, mingit tüüpi väite esinemisjuhud, diagonaliseerimine ja loogikaseadused
Karmo Talts
Sõnastame diagonaliseerimise lemma nii: mistahes predikaadi P korral leidub väite tüüp "väited tüüpi x on ekvivalentsed väitel tüüpi x on predikaat P-ga". See, et leidub väite tüüp ei tähenda tingimata seda, et leidub seda tüüpi väidete esinemisjuhte.
Vaatame nüüd loogikaseadusi lähudes vaatest, et juhul, kui leidub mingit tüüpi väite esinemisjuht, siis saab väitemuutuja asendada seda tüüpi väite esinemisjuhuga. Kui leidub väite tüüpi x esinemisjuht, siis ei väite tüüpi x esinemisjuht olla korraga tõene ja väär. Kui leidub väite tüüpi x esinemisjuht, siis on väite tüüpi x esinemisjuht tõene või väär.
Keele laiendamine diagonaliseerimise abil ja uute väidete tähenduse sõltuvus juba keelde kuuluvatest väidetest
Karmo Talts
Vaatame keele laiendamist diogonaliseerimise abil. Kui me anname uuele väitele X tähenduse, sõnastades bikonditsionaali „X on ekvivalentne Y-ga“, kus Y on meie keelde kuuluv väide, siis määrab X-i tähenduse Y. Kui Y ei kuulu meie keelde, siis puudub tähenduslik väide, mis annaks sama bikonditsionaali sõnastamisel X-le tähenduse.
Vaatame nüüd valetajalauset. Kui väide „X on väär“ kuulub meie keelde, siis X-l on juba tähendus ja bikonditsionaal „X on ekvivalentne X on väära-ga“ räägib X-le vastu ning on väär. Kui väide „X on väär“ ei kuulu meie keelde, siis see väide ei saa anda tähendust väitele X.
Piiranguteta diagonaliseerimine ja väidete hulgad
Karmo Talts
Vaatame arusaama, et iga väite kohta, millel on mingi predikaat, saab kasutusele võtta selle väitega ekvivalentse väite, hulkade moodustamise seisukohast. Iga predikaadi puhul saab moodustada hulga väidetest, mis on ekvivalentsed väidetega, millel on see predikaat.
Vaatame nüüd vähem naiivset lähenemist. Iga hulga alamklass, mille elementideks on väited, mis on defineeritud ekvivalentsuse kaudu väidetega, millel on mingi kindel predikaat, on hulk.
Vaatame nüüd valetajalauset. Ühegi kooskõlalise väidete hulga alamklassi element pole väide X, mis on ekvivalentne väitega X on väär. Seega ükski kooskõlaline keel ei sisalda valetajalauset.
