Üheks lugemine ja unikaalne element

Verivärske dialoog 

 

Üheks lugemine ja unikaalne element

Karmo Talts

Alain: On ainult paljusus, sest üks on üheks lugemise tulemus.

Autor: Sa unustad selle, mida üheks lugemine eeldab.

Alain: Ja mida siis?

Autor: Üheks lugemine eeldab unikaalset elementi.

Alain: Ja mida eeldab unikaalsus?

Autor: Identsust iseendaga, et unikaalset elementi saaks kõigest muust eristada.

Alain: Kas ka paljusus eeldab seda, et iga elemendi puhul on tegu iseendaga identse elemendiga?

Autor: Jah, sest muidu ei saa erinevaid elemente üksteisest eristada.

Alain: Kõigepealt tuleb lugeda unikaalsed elemendid x-iks elemendiks, et võrrelda x-i ühega?

Autor: Just. Siis saab öelda, et x on suurem kui üks ja seega on elemente mitu.

Hulkade moodustamise põhimõte, mis võtab arvesse seda, kas kindla predikaadiga elementide arv on tühi

Hulkade moodustamise põhimõte, mis võtab arvesse seda, kas kindla predikaadiga elementide arv on tühi 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise hulkade moodustamise põhimõtte: kui elementide predikaadiga P hulk pole tühi, siis saab moodustada elementidest predikaadiga P hulga, milles on elemente.
Vaatame nüüd hulkasid, mis ei kuulu endasse. Kui nende hulk pole tühi, siis saab neist moodustada hulga, millel on elemente. Kui neist saab moodustada hulga, millel on elemente, siis see hulk kuulub endasse siis, kui ta endasse ei kuulu ja ei kuulu endasse siis, kui ta endasse kuulub. See on vasturääkivus. Seega on selliste hulkade hulk tühi.  

Elemendid, mis ei kuulu mingisse kindlasse hulka, ja võimalus, et element ei kuulu mitte ühtegi hulka

Elemendid, mis ei kuulu mingisse kindlasse hulka, ja võimalus, et element ei kuulu mitte ühtegi hulka 

Karmo Talts

 

Vaatame elementi, mis kuulub hulka X. On välistatud, et see element ei kuulu mitte ühtegi hulka.

Vaatame nüüd elementi, mis ei kuulu hulka X. Ilma täiendavate eeldusteta ei saa välistada, et see element ei kuulu mitte ühtegi hulka.

Vaatame nüüd hulka, mis ei kuulu endasse. Ilma täiendavate eeldusteta ei saa välistada, et see hulk ei kuulu mitte ühtegi hulka.

Vaatame nüüd selle tähendust hulka mitte-kuulumise kaudu defineeritud predikaatide jaoks. Sellise predikaadi omamisest ei piisa, et sellise predikaadiga elemendid kuuluks vähemalt ühte hulka. Seega ei saa ilma täiendavate eeldusteta välistada, et sellised elemendid ei kuulu mitte ühtegi hulka. Kui need elemendid ei kuulu ühtegi hulka, siis ei saa neist moodustada hulka. Seega ei saa ilma täiendavate eeldusteta välistada, et neist elementidest ei saa moodustada hulka.

Mingi kindla predikaadiga elementide arvu paradoks ja hulgad

Mingi kindla predikaadiga elementide arvu paradoks ja hulgad

Karmo Talts 

 

Vaatame, kas leidub arvudega seotud Russelli paradoksi analoog. Eeldame kõigepealt, et iga predikaadi P puhul on neil elementidel, millel on predikaat P, arv.

Vaatame nüüd objekte, millel ei ole arvu. Neile rakendub predikaat Ei ole arvu. Seega meie naiivse eelduse järgi neil on arv.

Sõnastame nüüd naiivse hulgateooria jaoks paradoksi, mis on meie paradoksiga veelgi suuremal määral analoogne, kui Russelli paradoks. Mistahes predikaadiga elementidest saab moodustada hulga. Elementidele, millest hulka moodustada ei saa, rakendub predikaat Ei saa moodustada hulka. Järelikult saab moodustada hulga neist elementidest, millest ei saa moodustada hulka.

Loogika, milles singulaartermid ei pruugi omada osutust

Loogika, milles singulaartermid ei pruugi omada osutust 

Karmo Talts

 

Vaatame kuidas kohandada loogika võimalusega, et me võtame kasutusele singulaartermi, millel ei ole osutust. Iga singulaartermi a puhul pole nii, et leidub täpselt üks objekt, mida a tähistab, vaid iga singulaartermi a puhul leidub täpselt üks objekt, mida a tähistab või ei leidu objekti, mida a tähistab.

Vaatame nüüd, mida see muudab eeldusest, et sinulaartermile rakendub kindel predikaat, tulenevate järelduste jaoks. Klassikaliselt on nii, et kui a-le rakendub predikaat P, siis leidub objekt predikaadiga P. Kui a-le vastavat objekti ei pruugi leiduda, siis juhul, kui kui a-le rakendub predikaat P, siis leidub objekt predikaadiga P või ei leidu objekti, mida a tähistab.

Vaatame nüüd fiktsionaalsete nimede küsimust. Me võime väite „Pegasus on tiivuline” panna kirja nii: T(p). Kui see on tõene, siis leidub tiivuline objekt või ei leidu objekti, mida p tähistab.

Relatsioonid, identsus ja elektronid

Relatsioonid, identsus ja elektronid

Karmo Talts

Sõnastame järgmise vaate identiteedile: objektid x ja y ei ole sama objekt siis, kui vähemalt üks neist osaleb vähemalt ühes suhtes, milles ei osale teine.

Vaatame nüüd elektroone. Kui elektroonidel x ja y ei osale päris samades suhetes, siis x pole y.

Vaatame nüüd põimitud osakesi. Kui elektron x1 osaleb suhtes „sooritasin x1-ga mõõtmise x2 laboris x3 ajahetkel t” ja elektron x4 ei osale suhtes „sooritasin x4-ga mõõtmise x2 laboris x3 ajahetkel t” siis x1 pole x4 ka siis, kui x1 ja x4 on põimitud.

Vaatame nüüd selle tähendust, et suhted sõltuvad ajavahemikest ja ruumipiirkondadest. Objektide eristamiseks piisab mõnikord erinevuses objektide ajalistes ja/või ruumilistes parameetrites.

Predikaadid, mis on objektidel sõltuvalt sellest, millisesse kollektsiooni nad kuuluvad, predikaadid, mis on neil sellest sõltumata ja kollektsioonide moodustamine

Predikaadid, mis on objektidel sõltuvalt sellest, millisesse kollektsioonidesse nad kuuluvad, predikaadid, mis on neil sellest sõltumata ja kollektsioonide moodustamine

Karmo Talts 

 

Vaatame predikaadi "kuulub kõigi objektide kollektsiooni" staatust eeldusel, et selline kollektsioon on olemas. Objektidest ei saa seda kolleksiooni moodustada mitte sellepärast, et neil on see predikaat, vaid objektidel on see predikaat selle pärast, et nad kuuluvad sellesse kollektsiooni.

Vaatame nüüd selle tähendust predikaatidele. Iga predikaadi P puhul P kuulub kas predikaatide hulka, mille omamine sõltub sellest, millisesse kollektsiooni objekt kuulub või P kuulub predikaatide hulka, mille omamine ei sõltu sellest, millisesse kollektsiooni objekt kuulub.

Vaatame nüüd, kuidas kollektsioonide moodustamine käib. Me omistame mõnedele objektidele predikaadi P põhjusel, milleks on miski muu, kui nende kuulumine mõnda kollektsiooni. Me moodustame nendest objektidest kollektsiooni. Me omistame neil objektidele need predikaadid, mis sõltuvad sellesse kollektsiooni kuulumisest. Me omistame sellele kollektsioonile need predikaadid, mis sõltuvad sellest, millised objektid neisse kuuluvad. Me kordame kogu tsüklit alustades objektidele predikaadi Q omistamisest põhjusel, milleks on miski muu, kui nende kuulumine mõnda kollektsiooni jne. Me moodustame juba moodustatud kollektsioonidest kollektsioone selle alusel, millised predikaadid on neil kollektsioonidel selle tõttu, millised objektid neisse kuuluvad jne.