Väite ja selle sama kohta väite kohta köiva väite tähendus ning valetaja paradoks
Karmo Talts
Vaatame väiteid X ja „X-il on omadus P” tähenduse seisukohast. Need väited on erineva tähendusega.
Vaatame nüüd valetajalauset. Valetajalause X definitsioon „X on väär” püüab Xi-i tähenduseks anda X-i tähendusest erinevat tähendust. Kui pole võimalik, et väide tähendab midagi muud, kui ta tähendab, siis valetajalause definitsioon nurjub.
Loogikaseaduste ja teoreemide sisuline tähendus ning Gödeli lause
Karmo Talts
Vaatame, mida loogikaseadused ja teoreemid sisuliselt ütlevad. Vasturääkivuse seadus ütleb, et kui P on väide, siis P pole korraga tõene ja väär. Välistatud kolmanda seadus ütleb, et kui P on väide, siis P on tõene või väär. Jne.
Vaatame nüüd Gödeli mittetäielikkuse teoreemi. Gödeli lause on loogikavalem, mitte sisuline väide. Seega juhul, kui on võimalik sõnastada sisuline väide, millel on Gödeli lause vorm, on selle väite puhul tegu tõestamatu väitega.
Sisu ja vormi suhted loogikas ning valeaja paradoks ja Gödeli lause
Karmo Talts
Vaatame välistatud kolmanda seaduse vormi ja väidete sisu suhteid. Kui me asendame deklaratiivse lause lausemuutujaga P, siis on P tõene või väär. Kui me asendame deklaratiivse laused lausemuutjatega P, Q, jne. ja kasutame neid loogikatehte osavalemitena, siis on see loogikatehe tõene või väär. Kui me asendame sel viisil saad loogikatehted lausemuutujatega ja kasutame neid loogikatehte osavalemitena, siis on loogikatehe tõene või väär. Kui me asendame sel viisil saadud loogikatehted lausemuutujatega ja kasutame neid koos lausemuutujatega, mis asendavad deklaratiivseid lauseid, loogikatehte osavalemitena, siis on loogikatehe tõene või väär. Jne.
Vaatame nüüd valetajalauset. X-i definitsioon „X on väär” on formaalne definitsioon. Deklaratiivse lause või loogikatehte, millel on tõeväärtus, asendamine X-iga eirab seda, et see deklaratiivne lause või see loogikatehe ei ole defineeritud eneseleviitamise abil.
Vaatame nüüd Gödeli lauset. Deklaratiivse väite /või loogikatehete, millel on tõeväärtus, asendamine Gödeli lausega eirab seda, et deklaratiivne lause või see loogikatehe ei ole eneseleviitav.
Predikaatide defineerimine ja definitsioonina kasutava predikaadi eksistentsi sõltuvus defineeritavast predikaadist
Karmo Talts
Sõnastame järgmise piirangu predikaatide defienerimisele. Kui leidub predikaat P, mis eksisteerib predikaadist Q sõltumatult, siis tohib Q defineerida P-na.
Vaatame nüüd paradoksaalseid predikaate. Kui predikaat Q leidub predikaadist P sõltumatult, siis P ei ole enesele viitav predikaat. Seega on paradoksaalsed predikaadid defineeritud predikaatide kaudu, mida ei leidu neist sõltumatult ja see on lubamatu.
Tõeväärtuseta väited ja tõeväärtuslike objektide küsimus
Karmo Talts
Vaatame, mida see tähendab tõeväärtuslike objektide jaoks, kui leidub ilma tõeväärtuseta väiteid. Tõeväärtuslik objektide hulk ja väidete hulk ei lange kokku.
Vaatame nüüd selle tähendust loogika jaoks. Muutujatega ei saa asendada mitte väiteid, vaid tõeväärtuslikke objekte.
Vaatame nüüd suhet tõeväärtuslike objekti eksistentsi ja tõeväärtuslike objektide muutujate suhet. Kui leidub vähemalt üks objekt x, mis on tõeväärtuslik, siis konkreetne objekt a on tõeväärtuslik. Kui a on tõeväärtuslik, siis saab a asendada tõeväärtusliku objekti muutujaga P.
Vaatame nüüd konkreetse tõeväärtusega objekti eksistentsi ja tõeväärtuslike objektide muutujate suhet. Kui leidub vähemalt üks x tõeväärtusega P, siis konkreetsel objektil a on tõeväärtus P. Kui a-l on tõeväärtus P, siis saab a asendada tõeväärtusliku objekti muutujaga Q ja omistada Q-le tõeväärtuspredikaat P, mis on a-l.
Lausete ja propositsioonide suhe ning selle üldistus omaduste ja suhete kohta käivate sõnade jaoks
Karmo Talts
Vaatame lausete ja propositsioonide suhet. Lause x on tõene parajasti siis, kui x väljendab vähemalt ühte propositsiooni P ja täpselt ühte P-d ja P on tõene. Lause x pole tõene, kui x ei väljenda ühtegi propositsiooni P või x väljendab rohkem kui ühte P-d või P pole tõene.
Vaatame nüüd olukorda, kus x väljendab rohkem kui ühte propositsiooni P. Sel juhul me kasutame x-i mitmes erinevas tähenduses ja rikume identsusseadust.
Üldistame nüüd selle omaduste ja suhete kohta käivate sõnade jaoks. Kui me kasutame sõna x vähemalt ühe omaduse või suhte kohta ja x väljendab rohkem kui ühte predikaati P, siis me kasutame x-i mitmes erinevas tähenduses ja rikume identsusseadust.
Loogikaseaduste relevantseks muutmine ja eitus
Karmo Talts
Vaatame vasturääkivuse seaduse relevantseks muutmise võimalusi. Väitest P järeldub, et mitte ükski P osavalem ei ole korraga tõene ja väär.
Vaatame nüüd välistatud kolmanda seadust. P-st järeldub, et P iga osavalem on tõene või väär.
Vaatame nüüd eituse sissetoomist. Kui P-st järeldub vasturääkivus, mis jagab P-ga vähemalt ühte osavalemit, siis pole nii, et P.
