Hulkade moodustamine ning positiivsed ja negatiivsed predikaadid

Hulkade moodustamine ning positiivsed ja negatiivsed predikaadid

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmised hulkade moodustamise põhimõtted. Iga positiivse predikaadi P puhul, mis pole defineeritud paaritu arvu eitustega predikaadi abil, puhul saab moodustada hulga elementidest predikaadiga P. Iga paaritu arvu eitustega predikaadi ja positiivse predikaadi, mis on defineeritud paaritu arvu eituste abil, puhul saab moodustada alamhulga olemasoleva hulga nendest elementidest, millel on see predikaat.

Vaatame nüüd hulkasid, mis ei kuulu endasse. Kui olemasolevatel hulkadel on liikmeid, mis on hulgad, mis ei kuulu endasse, siis saab moodustada olemasolevate hulkade alamhulgad, mille liikmeteks on hulgad, mis ei kuulu endasse.

Kaksikmaa mõtte-eksperiment ja määrava kirjelduse ebamäärasus

Kaksikmaa mõtte-eksperiment ja määrava kirjelduse ebamäärasus 

Karmo Talts

 

Vaatame, mille poolest erineb eeldusel, et Putnami Kaksikmaa on nomoloogiliselt võimalik, vedelik, mille kohta Kaksikmaal kasutatakse sõna vesi, Maa veest lisaks sellele, et see pole sama aine. Kaksikmaa vedelik ei ole joodav planeedil Maa elavate olendite jaoks.

Vaatame nüüd selle tähendust sõnade tähenduse jaoks. Sõna „joodav” tähendus on ise ebamäärane. Kui planeedil Maa peetakse sellega silmas joodavust Maa olendite jaoks, siis on määrav kirjeldus „läbipaistev joodav vedelik” Maal ja Kaksikmaal erineva tähendusega. Seega saab Maa ja Kaksikmaa sõnade tähenduse eristada määrava kirjelduse erinevate tähenduste alusel eeldamata, et Maa sõna „vesi” tähendab ollust, millel on sobiv põhjuslik side Maa sõnaga „vesi”.

Nomoloogiline võimatus ja modaalloogika

Nomoloogiline võimatus ja modaalloogika

Karmo Talts

 

Vaatame, mille puhul on tegu väitega „on võimalik, et P” juhul, kui P on kooskõlaline, aga on nomoloogiliselt võimatu, et P. Siis on tegu väära väitega. Seega on modaalloogika teemant tähistabki kooskõlalisust, mitte võimalikkust.

Vaatame nüüd, mida see tähendab võimalike maailmade jaoks. Kuna mõned võimalikud maailmad on nomoloogiliselt võimatud, siis võimalikud maailmad on lihtsalt kooskõlaliste väidete hulgad.

Vaatame nüüd, mida tähendab see läbipääsu jaoks tegelikku maailma ja nomoloogiliselt võimatu maailma vahele. Igasugune läbipääsude omistamine tegeliku maailma ja võimalike maailmade, milles on nii, et P, vahele on väär.

Vaatame nüüd nomoloogiliselt võimatute maalmade ja teiste võimalike maailmade suhet. Kui on nomoloogiliselt võimatu, et P, ei saa nomoloogiliselt võimalik maailm muutuda selliseks, et P. Kuna teised nomoloogilselt võimatud maailmad pole kunagi tegelikud, ei saa nad ka muutuda. Seega ei saa nad ka muutuda sellisteks, et P. Kuna maailm, milles on nii, et P, pole kunagi tegelik, ei saa see ka muutuda. Seega ei ole nomoloogiliselt võimatul maailmal tegelikult läbipääse mitte ühtegi maailma, ei nomoloogilielt võimalikku ega võimatusse. Nomoloogiliselt võimatute maailmade vahelistest läbipääsudest rääkimine on alusetu  fantaseerimine.

Vaatame nüüd selle tähendust modaalloogika jaoks. Me vajame modaalloogikat, kus on modaalsus „nomoloogiliselt võimalik”. Kui ei ole nomoloogiliselt võimalik, et P, siis on kooskõlaline väidete hulk, kuhu kuulub P, nomoloogilselt võimatu maailm ja sellel maailmal pole mingeid läbipääse teistesse maailmadesse. Väited selle kohta, millised läbipääsud on nomoloogiliselt võimalike maailmade vahel, on tõeväärtuslikud väited, mille tõeväärtus sõltub sellest, kuidas maailm, milles on teostunud nomoloogiliselt võimalike asjaolude kombinatsioon x, muutuda saab ja millistel nomoloogiliselt võimalikel asjaoludel maailm saab muutuda selliseks, et selles on teostunud x.

Üheks lugemine ja unikaalne element

Verivärske dialoog 

 

Üheks lugemine ja unikaalne element

Karmo Talts

Alain: On ainult paljusus, sest üks on üheks lugemise tulemus.

Autor: Sa unustad selle, mida üheks lugemine eeldab.

Alain: Ja mida siis?

Autor: Üheks lugemine eeldab unikaalset elementi.

Alain: Ja mida eeldab unikaalsus?

Autor: Identsust iseendaga, et unikaalset elementi saaks kõigest muust eristada.

Alain: Kas ka paljusus eeldab seda, et iga elemendi puhul on tegu iseendaga identse elemendiga?

Autor: Jah, sest muidu ei saa erinevaid elemente üksteisest eristada.

Alain: Kõigepealt tuleb lugeda unikaalsed elemendid x-iks elemendiks, et võrrelda x-i ühega?

Autor: Just. Siis saab öelda, et x on suurem kui üks ja seega on elemente mitu.

Hulkade moodustamise põhimõte, mis võtab arvesse seda, kas kindla predikaadiga elementide arv on tühi

Hulkade moodustamise põhimõte, mis võtab arvesse seda, kas kindla predikaadiga elementide arv on tühi 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise hulkade moodustamise põhimõtte: kui elementide predikaadiga P hulk pole tühi, siis saab moodustada elementidest predikaadiga P hulga, milles on elemente.
Vaatame nüüd hulkasid, mis ei kuulu endasse. Kui nende hulk pole tühi, siis saab neist moodustada hulga, millel on elemente. Kui neist saab moodustada hulga, millel on elemente, siis see hulk kuulub endasse siis, kui ta endasse ei kuulu ja ei kuulu endasse siis, kui ta endasse kuulub. See on vasturääkivus. Seega on selliste hulkade hulk tühi.  

Elemendid, mis ei kuulu mingisse kindlasse hulka, ja võimalus, et element ei kuulu mitte ühtegi hulka

Elemendid, mis ei kuulu mingisse kindlasse hulka, ja võimalus, et element ei kuulu mitte ühtegi hulka 

Karmo Talts

 

Vaatame elementi, mis kuulub hulka X. On välistatud, et see element ei kuulu mitte ühtegi hulka.

Vaatame nüüd elementi, mis ei kuulu hulka X. Ilma täiendavate eeldusteta ei saa välistada, et see element ei kuulu mitte ühtegi hulka.

Vaatame nüüd hulka, mis ei kuulu endasse. Ilma täiendavate eeldusteta ei saa välistada, et see hulk ei kuulu mitte ühtegi hulka.

Vaatame nüüd selle tähendust hulka mitte-kuulumise kaudu defineeritud predikaatide jaoks. Sellise predikaadi omamisest ei piisa, et sellise predikaadiga elemendid kuuluks vähemalt ühte hulka. Seega ei saa ilma täiendavate eeldusteta välistada, et sellised elemendid ei kuulu mitte ühtegi hulka. Kui need elemendid ei kuulu ühtegi hulka, siis ei saa neist moodustada hulka. Seega ei saa ilma täiendavate eeldusteta välistada, et neist elementidest ei saa moodustada hulka.

Mingi kindla predikaadiga elementide arvu paradoks ja hulgad

Mingi kindla predikaadiga elementide arvu paradoks ja hulgad

Karmo Talts 

 

Vaatame, kas leidub arvudega seotud Russelli paradoksi analoog. Eeldame kõigepealt, et iga predikaadi P puhul on neil elementidel, millel on predikaat P, arv.

Vaatame nüüd objekte, millel ei ole arvu. Neile rakendub predikaat Ei ole arvu. Seega meie naiivse eelduse järgi neil on arv.

Sõnastame nüüd naiivse hulgateooria jaoks paradoksi, mis on meie paradoksiga veelgi suuremal määral analoogne, kui Russelli paradoks. Mistahes predikaadiga elementidest saab moodustada hulga. Elementidele, millest hulka moodustada ei saa, rakendub predikaat Ei saa moodustada hulka. Järelikult saab moodustada hulga neist elementidest, millest ei saa moodustada hulka.