Naiivse hulkade moodustamise põhimõtte kontrapositsioon ja reaalselt eksisteerivate predikaatide defineerimine

Naiivse hulkade moodustamise põhimõtte kontrapositsioon ja  reaalselt eksisteerivate predikaatide defineerimine

Karmo Talts

 

Vaatame naiivset hulkade moodustamise skeemi ja selle kontrapositsiooni. Kui P on predikaat, siis saab elementidest, millel on P, moodustada hulga. Seega siis, kui elementidest, millel on P, ei saa moodustada hulka, pole P predikaat.

Vaatame nüüd, kuidas on võimalik, et mõnesid predikaate, mille me defineerime, ei eksisteeri. Selleks, et definitsioon määratleks tõelise predikaadi, peab definitsioon väljendama kooskõlaliselt mõeldavat kontseptsiooni ja kontseptsioon on kooskõlaliselt mõeldav siis, kui on võimalik moodustada hulk, millesse kuuluvad kõik elemendid, mille kohta kontseptsioon käib.

Relevantne metaloogika

Relevantne metaloogika

Karmo Talts

 

Vaatame relevantset metaloogikat. Mitte ainult objektkeele teoreemid, vaid ka metakeele väited tõestuste kohta peavad olema relevantsed. St., et P tõestab Q relevantselt ainult siis, kui P ja Q jagavad lausemuutujat.

Vaatame nüüd loogikaseadusi. P ja P eituse konjunktsiooni eituse ja P ja P eituse disjunktsiooni tõestavad relevantselt ainult need eelduste hulgad, mis sisaldavad lausemuutujat P.

Uute predikaatide defineerimine ja Nelson Grellingi paradoks

Uute predikaatide defineerimine ja Nelson Grellingi paradoks

Karmo Talts

Vaatame predikaatide kollektsiooni. Kui me ei eelda, et me oleme kõik predikaadid juba defineerinud, siis see kollektsioon täieneb.
Vaatame nüüd heteroloogilisuse predikaati. Heteroloogilised ainult predikaadid, mille me oleme defineerinud enne, kui me defineerisime heteroloogilisuse predikaadi, ja mis ei rakendu endale või on heteroloogilised ka teised predikaadid, mis ei rakendu endale, lisaks nendele endale mitte rakenduvatele predikaatidele, mille me oleme defineerinud enne heteroloogilisuse predikaadi defineerimist. Teisel juhul tekib küsimus, kas heteroloogilisuse predikaat on heteroloogiline ja tekib paradoks. Seega on heteroloogilised predikaadid, mille me oleme defineerinud enne, kui me defineerisime heteroloogilisuse predikaadi, ja mis ei rakendu endale.

Võimalused väite eeldamise suhtes ja vasturääkivus

Võimalused väite eeldamise suhtes ja vasturääkivus
Karmo Talts

Vaatame võimalusi P eeldamise suhtes. Me kas eeldame P-d või aktiivselt eitame P-d või jätame P tõeväärtuse lahtiseks. Kahel viimasel juhul me ei eelda P-d.
Vaatame nüüd vasturääkivusi. Kui me korraga eitame ja jaatame P-d, siis me korraga eeldame P-d ja ei eita P-d. Sisuliselt pole seda võimalik teha.
Vaatame nüüd väiteid, millest järeldub vasturääkivus. Kui P-s järeldub vasturääkivus, siis me peame P-d mitte eeldama. Seega peame me vasturääkivuse korral P-d aktiivselt eitama või P tõeväärtuse lahtiseks jätma. 

Predikaatide, millele predikaati rakendub, tasemed ja Nelson Grellingi paradoks

Predikaatide, millele predikaati rakendub, tasemed ja Nelson Grellingi paradoks 

Karmo Talts

Eristame objektid, mille kohta erineva taseme predikaadid käivad. Esimese järgu predikaadid käivad esimese järgu objektide kohta, teise järgu predikaadid esimese järgu predikaatide kohta, kolmanda järgu predikaadid teise järgu predikaatide kohta jne.
Vaatame nüüd Nelson Grellingi paradoksi. Pole lubatud selline predikaat nagu Rakendub, vaid on lubatud predikaadid Rakendub esimese taseme objektidele, Rakendub teise taseme objektidele jne. Predikaadi Rakendub x taseme objektile rakendamine predikaadile Rakendub x taseme objektile, st. sellele predikaadile endale, ei ole lubatud, sest predikaat Rakendub x tasandi objektile kuulub tasemele x pluss üks.

Tühjade ja mitte-tühjade tõdede erinev käsitlemine

Tühjade ja mitte-tühjade tõdede erinev käsitlemine 

Karmo Talts

Vaatame argumente selle kasuks, et tühjalt tõeseid väiteid peaks käsitlema teisiti, kui mitte-tühjalt tõeseid väiteid. Ilma tõdede erinevust arvesse võtmata on kaks konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuhtu omavahel kooskõlas. Kui me võtame seda erinevust arvesse, siis on räägivad tühjalt tõene konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuht ja mitte-tühjalt tõene konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuht üksteisele vastu.
Vaatame nüüd modus ponensit. Kui konditsionaal "kui P, siis Q" on mitte-tühjalt tõene ja P, siis Q.  Kui konditsionaal "kui P, siis Q" on tühjalt tõene ja P, siis on tegemist vasturääkivusega.
Vaatame nüüd vasturääkivusest tulenevaid järeldusi. Vasturääkiva konjunktsiooni elimineerimisel saame me P ja P eituse.  Esimesest neist järeldub, et konditsionaal "kui P, siis P või Q" on mitte-tühjalt tõene ja teisest, et konditsionaal "kui P, siis P või Q" on tühjalt tõene. P eitus räägib esimesele konditsionaali esinemisjuhule vastu ja P räägib teisele konditsionaali esinemisjuhule vastu.
Vaatame nüüd koondamist. Kaks väite P esinemisjuhtu on samaväärsed siis, kui nende tõesus on ühte liiki. Kui P üks esinemisjuht on tühjalt tõene ja teine P esinemisjuht on mitte-tühjalt tõene, siis on tegu vasturääkivate P esinemisjuhtudega. 

Vasturääkivused andmetes, refleksiivsus ja konjunktsiooni ellimineerimine

Vasturääkivused andmetes, refleksiivsus ja konjunktsiooni ellimineerimine 

Karmo Talts

Vaatame vasturääkivatest andmetest järelduse tegemist praktika seisust. Me ei tea, kumb vasturääkivatest väidetest on tõene või milline vasturääkivuse osaväidetest on tõene.
Vaatame nüüd selle tähendust loogika jaoks. Vasturääkivate väidete korral andmetes tähendab refleksiivsuse kasutamine mõlema vasturääkiva väite kasutamist järelduste tegemisel, milleks meil pole alust. Kuna me ei tea, kumb neist väidetest on tõene, siis pole meil alust mitte kummagi puhul refleksiivsust kasutada. Otsese vasturääkivuse korral tähendab konjunktsiooni elimineerimine vasturääkivuse mõlema osaväite kasutamist järelduste tegemiseks, milleks meil pole alust.
Vaatame nüüd, kuidas tehniliselt läbi viia seda, et sellistes olukordades refleksiivsust või konjunktsiooni ellimineerimist vältida. Kui meil on loogika, kus nõrgendamine ei kehti juhul, kui eelduste või järelduste hulka laiendadatakse väitega, mis olemasolevatele eeldustele või järeldustele vastu räägib, siis me saame käsitleda refleksiivsust normaaljuhul kehtiva reegli või eeldusena. Kui nõrgendamine ei kehti juhul, kui eelduste või järelduste hulka laiendadatakse otsese vasturääkivusega, siis me saame käsitleda konjunktsiooni elimineerimist  normaaljuhul kehtiva reegli või eeldusena.