Predikaadid, mille alusel ei saa moodustada hulkasid, ja ebakonsistentsus

Predikaadid, mille alusel ei saa moodustada hulkasid, ja ebakonsistentsus 

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi mõista seda, et mitte iga predikaadi P puhul ei saa moodustada hulka kõigist elementidest predikaadiga P. Üks võimalus seda mõista on, et kui kõigist elementidest predikaadiga P ei saa moodustada hulka, siis pole P konsistentne predikaat.

Vaatame nüüd selle tähendust loogika jaoks. Kui ei saa moodustada hulka kõigist elementidest predikaadiga P, siis on P ebakonsistentne. Kui P on ebakonsistentne, siis on (või võivad olla) P-d abil sõnastatud väited ebakonsistentsed. Seega juhul, kui ei saa moodustada hulka kõigist elementidest predikaadiga P, siis on (või võivad olla) P abil sõnastatud väited ebakonsistentsed.

Ebakonsistentsed definitsioonid ja ekvivalentsuse kasutamise piiramine

Ebakonsistentsed definitsioonid ja ekvivalentsuse kasutamise piiramine 

Karmo Talts

 

Vaatame loogikat, kus on ebakonsistentsetena saab käsitleda definitsioone. Ebakonsistentse definitsiooni puhul tuleb piirata ekvivalentsuse kasutamist. Kui me ei saa asendada ebakonsistentselt defineeritud väidet (või predikaati) selle väite (või predikaadiga), mille abil väide (või predikaat) on defineeritud, siis me ei saa ka midagi paradoksaalset tuletada.

Selle, et tõesel väitel on tõeväärtus, tähendus tõeskeemi jaoks ja tõeväärtuseta väited

Selle, et tõesel väitel on tõeväärtus, tähendus tõeskeemi jaoks ja tõeväärtuseta väited

Karmo Talts

 

Lisame tõsiasja, et kui väide on tõene, siis väitel on tõeväärtus, tõeskeemi. Väide P on tõene parajasti siis, kui on nii, et P ja P-l on tõeväärtus.

Vaatame nüüd mitte-tõesust. Kui meil on kaks tõeväärtust ja me lubame lisaks neile väiteid, millel pole tõeväärtust, siis väide P pole tõene parajasti siis, kui pole nii, et P või P-l pole tõeväärtust. Kui meil on rohkem kui kaks tõeväärtust, siis siis P pole tõene parajasti siis, kui P-l on tõesusest erinev tõeväärtus (või kõige kõrgemast erinev tõeväärtus) või P-l pole tõeväärtust.

Vaatame nüüd selle tähendust mitte-tõesuse jaoks. Kui väide P pole tõene, siis P eitusel on P tõeväärtusest sõltuv tõeväärtus või P eitusel pole samuti tõeväärtust. Viimasel juhul pole ilma täiendavate eeldusteta mitte midagi tagatud ei P-st ega P eitusest tulenevate järelduste tõeväärtuste kohta.

Dialoog "Ebamäärasus ja mõtlemise areng"

Verivärske dialoog.

 

Ebamäärasus ja mõtlemise areng

Karmo Talts

 

Georg Wilhelm: Mõisted arenevad, kui nende ebamäärasus ületatakse uutes mõistetes.

Autor: Kas mitte ebamäärasus ei eelne mõistetele ja mõisted ei aita seda vähendada?

Georg Wilhelm: Miks siis peaks üldse toimuma peale esimese mõiste kasutusele võttu mõtlemises areng? Oli ebamäärasus ja mõiste kasutusele võtmine kõrvaldas selle.

Autor: Mõiste ju vähendab ebamäärasust, aidates eristada objekte, mis erinevad ühes suhtes. Selleks, et eristada objekte, mis erinevad teises suhtes, on vaja teist mõistet.

Georg Wilhelm: Too mõni näide.

Autor: Näiteid võib tuua sinu enda analüüsitud mõistete hulgast. Olemise mõiste eristab olevaid ja mitte olevaid, aga mitte olevaid, mille määr erineb. Kvantiteetidega seotud mõisted aitavad eristada objekte, mille määr erineb, aga mitte objekte, mille tajutavad omadused erinevad. Jne.

Georg Wilhelm: Kas see ei tähenda, et on ka vaja mõisteid, mis eristavad mitte-olevaid?

Autor: Just nimel. Näiteks võimalikkuse mõiste võimaldab eristada võimalikke objekte ja objekte, mida on võimalik pelgalt kujutleda.

Georg Wilhelm: Ja olnu mõiste võimalike objekte, mis on olemast lakanud, võimalikest objektidest, mida veel pole ja mida võibolla ei saa kunagi olema.

Autor: Paratamatuse mõiste omakorda eristab objekte, mida veel pole ja mis kindlasti saavad olema, nendest, mida pole ja mida võibolla ei saa kunagi olema.

Georg Wilhelm: Mida see kõik progressi jaoks tähendab?

Autor: Ühest küljest seda, et progress sõltub võimalikkusest. Kui on võimalikud tingimused, millel progressi ei toimu, siis on võimalik, et progress jääb ära.

Georg Wilhelm: Ja kui teatud tingimustel on võimalik, et toimub taandareng, siis on võimalik, et toimub taandareng. Aga miks sa enne kasutasid väljendit „ühest küljest”?

Autor: Sest kui on võimalikud erinevad eesmärgid, siis see, mis kujutab on ühe eesmärgi seisukohast progressi, ei pruugi seda kujutada teise seisukohast.

Georg Wilhelm: Teise seisukohast võib olla tegu millegi ebaolulise või taandarenguga?

Autor: Või ka stagnatsiooni põhjusega.

Väidetes sisalduv müra ja võimalus väidete tõeväärtusi kindlaks teha

Väidetes sisalduv müra ja võimalus väidete tõeväärtusi kindlaks teha 

Karmo Talts

 

Vaatame väiteid võimaluse seisukohast, et väited võivad sisaldada müra. Väide sisaldab mingil määral müra või ei sisalda üldse müra. Kui väide sisaldab müra, siis on (mingil määral) arusaamatu, mida väide ütleb. Kui on (mingil määral) arusaamatu, mida väide ütleb, siis ei ole (selgeid) kriteeriume väite tõeväärtuse kindlaks tegemiseks. Kui pole (selgeid) kriteeriume väite tõeväärtuse kindlaks tegemiseks, siis ei saa (päris täpselt) väite tõeväärtust kindlaks teha. Kui ei saa (päris täpselt) väite tõeväärtust kindlaks teha, siis ei saa (päris täpselt) kindlaks teha, mis on väitest tulenevate järelduste tõeväärtuse puhul tagatud.

Eituse defineerimine Shefferi noole abil ja koondamiseta loogika

Eituse defineerimine Shefferi noole abil ja koondamiseta loogika

Karmo Talts

 

Vaatame, kuidas on defineeritud eitus Shefferi noole abil. P on väär parajasti siis, kui P ja P Shefferi nool on tõene.

Vaatame nüüd selle tähendust subsrukturaalsest vaatekohast. (P eitus on defineeritud kahe P esinemisjuhu jaoks ja on ühe P esinemisjuhu jaoks defineerimata.) Kui P ja P Shefferi nool on tõene, siis on vähemalt üks P esinemisjuht väär. Seega pole välistatud, et P teine esinemisjuht on tõene. Seega ei ole eitus defineeritud P mitme esinemisjuhu jaoks.

Võtame nüüd kasutusele eituse P mitme esinemisjuhu jaoks. Kui eelduse, et P on järelduste tegemiseks korduvalt saadaval, ja tõesuse Shefferi nool on tõene, siis on tõesus väär või on see, et eeldus P on korduvalt saadaval, väär. Tõesus ei ole väär. Seega on sel juhul see, et eeldus P on korduvalt saadaval, väär. Seega on P ja tõesuse Shefferi nool ekvivalentne selle, et eeldus P on korduvalt saadaval, eitusega.

Loogika, kus väitele omistatakse väärtus, mis ütleb, kas väitel on tõeväärtus ja juhul kui on, omistatakse teine väärtus, mis ütleb, milline on väite tõeväärtus

Loogika, kus väitele omistatakse väärtus, mis ütleb, kas väitel on tõeväärtus ja juhul kui on, omistatakse teine väärtus, mis ütleb, milline on väite tõeväärtus

Karmo Talts

 

Vaatame loogikat, kus väidetele omistatakse kaks eraldi väärtust. Esimene väärtus ütleb, kas väitel on tõeväärtus ja teine väärtus ütleb juhul, kui väitel on tõeväärtus, milline see tõeväärtus on.

Vaatame nüüd loogikatehteid. Kui vähemalt ühel konjunktsiooni osaväitel pole tõeväärtust, siis pole kogu konjunktsioonil tõeväärtust. Kui mõlemal konjunktsiooni osaväitel on tõeväärtus, siis konjunktsiooni tõeväärtus sõltub osaväidete tõeväärtusest.

Vaatame nüüd vasturääkivust. Vasturääkivus on väite P ja P eituse konjunktsioon. Seega saab vasturääkivus nii omada tõeväärtust, kui ka olla ilma tõeväärtuseta.

Vaatame nüüd selel tähendust eituse jaoks. Kui väitest P järeldub vasturääkivus, siis P-l kas ei ole kõige kõrgem tõeväärtus või P-l ei ole tõeväärtust.

Vaatame nüüd disjunktsiooni. Disjunktsioonil ei ole tõeväärtust juhul, kui disjunktsiooni mitte kummalgi osaväitel pole tõeväärtust. Kui disjunktsioonil on tõeväärtus, siis see sõltub ühe osaväite tõeväärtusest või juhul, kui mõlemal osaväitel on tõeväärtus, osaväidete tõeväärtustest.

Vaatame nüüd konditsionaali. Konditsionaalil on tõeväärtus siis, kui vähemalt ühel on tõeväärtus, konditsionaali eeldusel või konditsionaali järeldusel. Kui konditsionaali eeldusel pole tõeväärtust või konditsionaali eeldusel on tõeväärtus ja see on kõige madalam tõeväärtus ning konditsionaali järeldusel on tõeväärtus, siis on konditsionaal tühjalt tõene. Kui konditsionaali eeldusel on kõige kõrgem tõeväärtus ja järeldusel pole tõeväärtust või on järeldusel tõeväärtus, mis pole kõige kõrgem, siis on konditsionaal väär.