Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi loogika, mis teeb vahet kooskõlalistel ja mitte-kooskõlalistel väidetel, loomiseks. Üks võimalus sellise loogika loomiseks on kasutada kooskõlaliste ja mittekooskõlaliste väidete jaoks eraldi muutujaid.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi väiteid. Mitte-kooskõlalist väidet ei saa asendada kooskõlalise väite muutujaga ja mitte-kooskõlalise väite puhul ei saa kasutada päris kõiki kooskõlalistele väidetele rakenduvaid teoreeme.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlaliste väidetele rakenduvaid teoreeme. Kuna vasturääkivuse seadus rakendub ainult kooskõlalistele väidetele ja eituse sissetoomine tuleneb vasturääkivuse seadusest, siis mitte kooskõlaliste väidetest ei saa eitust sisse tuua. Seega rakenduvad mitte-kooskõlalistele väidetele ainult klassikalise loogika positiivsed tehted.

Üldistame nüüd selle idee kõigile predikaatidele. Kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste predikaatide tähistamiseks tuleb kasutada erinevaid muutujaid. Väidete sõnastamisel saab mitte-kooskõlalistele predikaatidele rakendada ainult positiivseid tehteid.

Tõe koherentsiteooria ja eituse sissetoomine

Tõe koherentsiteooria ja eituse sissetoomine 

Karmo Talts

 

Vaatame eitus sissetoomist tõe konsistentsiteooria seisukohast. Kui selle tõestamiseks, et väitest P-järeldub vasturääkivus, läheb vaja eeldusi, mis P-st endast ei järeldu, siis ei tõesta see, et P-st järeldub vasturääkivus, mitte P eitust, vaid seda, et teooria ei ole kooskõlaline. Kas teooria muuta kooskõlaliseks P eitamise abil või eitades vähemalt ühte neist eeldustest, mida on vaja selle tõestamiseks, et P-st järeldub vasturääkivus, on valiku küsimus.

Vaatame nüüd selle tähendust tõe konsistenstiteooria jaoks sobiva eituse jaoks. Eitus ütleb, et P pole teooriaga kooskõlas. Lisaks võib kasutusele võtta teise eituse, mis ütleb, et P viib vasturääkivuseni kasutades ainult neid eeldusi, mis P-st ilma teiste eeldusteta järelduvad.

Eitus sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel ja vasturääkivuse seadus

Eitus sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel ja vasturääkivuse seadus

Karmo Talts

 

Vaatame kuidas tõlgendada eitust sekventsiaalse tuletuse erinevatel pooltel. P eitus tuletuse vasakul pool ütleb, et on väär P-d eeldada. P eitus tuletuse paremal pool ütleb, et on väär P-d järeldada.

Vaatame nüüd vasturääkivuse seadust. See jaguneb kaheks seaduseks, millest üks ütleb, et ei tohi eeldada, et väide on korraga tõene ja väär ning teine ütleb, et ei tohi järeldada, et väide on korraga tõene ja väär.

Loogika, kus väite eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume seda väidet eeldamast

Loogika, kus väite eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume seda väidet eeldamast 

Karmo Talts 

 

Vaatame võimalusi loogika, kus väite P eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume P-d eeldamast ja ilma täiendavate eeldusteta ei saa teha P-st tulenevaid järeldusi, loomiseks. Kui me eeldame, et on P väär või oleme P vääruse tõestanud, siis me peame hoiduma P-d eeldamast. 

Vaatame nüüd vasturääkivuse seadust. Väidet P on võimatu korraga eeldada ja mitte eeldada

Vaatame nüüd välistatud kolmanda küsimust. Me kas eeldame P-d või ei eelda P-d.

Vaatame nüüd eituse sissetoomist.Kui väitest P järeldub, et me peame korraga eeldama Q-d ja ei saa eeldada Q-d, siis me peame hoiduma P-d eeldamast.

Vaatame nüüd kahekordse eituse sissetoomist.Kui me tohime väidet P eeldada, siis pole keelatud P-d eeldada.

Vaatame nüüd disjunktsiooni sissetoomist. Kui P on tõene, siis me saame seda kasutada P ja Q disjunktsiooni sissetoomiseks. Kui P on väär, siis me ei saa seda kasutada P ja Q disjunktsiooni sisse toomiseks. Kuna P väärus tähendab kõigest seda, et me peame hoiduma P-d eeldamast, siis meil pole eitavate osaväidetega disjunktsioone. 

Vaatame nüüd konditsionaali. Kui P on väär või Q on väär, siis me ei saa neid kasutada konditsionaali "kui P, siis Q" tõestamiseks. Kuna me ei saa siis, kui P on väär, seda konditsionaali tõestada, siis ei ole meie loogikas tühjasid tõdesid. 

Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi. P väärus tähendab, et me peame hoiduma P-d eeldamast. See tähendab kõigest, et me ei saa kasutada P-d P ja Q disjunktsiooni sissetoomiseks, mitte seda, et me saaks P eitust koos P ja Q disjunktsiooniga kasutada Q järeldamiseks. 

Eeldus, et mõnesid predikaate ei saa omistada teatud tüüpi väidetele, ja eitus

Eeldus, et mõnesid predikaate ei saa omistada teatud tüüpi väidetele, ja eitus

Karmo Talts

  

Eeldame, et iga objekti x ja iga predikaadi P puhul x on tüüpi, millele saab omistada predikaadi P, ja x-il on predikaat P või x on tüüpi, millele saab omistada predikaadi P, ja x-il pole predikaati P või x on tüüpi, millele ei saa omistada predikaati P. Meil on nüüd vaja eituse, mis ütleb, et objektil x, mis on tüüpi, millele saab omistada predikaadi P, pole predikaati P, kõrvale eitust, mis ütleb, et P pole predikaat, mida saab tüüpi, kuhu kuulub x, kuuluvale objektile omistada.
Vaatame nüüd, kuidas see uus eitus käitub väite ees. Väide, mis rakendab väitele P-le seda eitust, ütleb, et P teeb vähemalt ühe lubamatu predikaadiomistuse või P rakendab vähemalt ühe korra valet tüüpi eitust.

Eeldus, et negatiivseid fakte pole olemas ja tõe vastavusteooria

Eeldus, et negatiivseid fakte pole olemas ja tõe vastavusteooria

Karmo Talts

 

Vaatame tõe vastavusteooriat lähtudes eeldusest, et negatiivseid fakte pole olemas. Ainult positiivsed väited saavad vastata tegelikkusele, sest pole olemas negatiivseid fakte, millele eitavad väited vastata saaksid

Vaatame nüüd eitavate väidete tõetingimusi. P eitus on tõene parajasti siis, kui P ei vasta tegelikkusele.

Eeldus, et negatiivseid fakte pole olemas ja predikaatide eitamine

Eeldus, et negatiivseid fakte pole olemas ja predikaatide eitamine

Karmo Talts

 

Vaatame predikaatide eitamist funktsioonide seisukohast. Predikaadi P(x) eitus seab vastavusse objekti x ja negatiivse predikaadi mitte-P.

Vaatame nüüd selle alternatiivi, mis lähtub sellest, et objektidel pole negatiivseid omadusi, Vastavusse saab seada ainult objekte ja positiivseid predikaate. P eitus on ainult vahend selle meeles pidamiseks, et x-i ja P-d ei saa vastavusse seada.

Paradoksaalsetele väidetele rakenduv tehe ja eitus

Paradoksaalsetele väidetele rakenduv tehe ja eitus 

Karmo Talts

Vaatame tehet, mille võib kasutusele võtta pardoksaalsete väidete, mille puhul nii väitest, kui ka väite eitusest järeldub vasturääkivus, kirjeldamiseks. See tehe rakendub väitele P siis, kui P-st ja P eitusest mõlemas järeldub vasturääkivus.
Vaatame nüüd, mida see väite tõeväärtusega teeb. Kui meil on kolmas tõeväärtus, siis see tehe muudab tõese ja väära väite vääraks ning väite, millel on kolmas tõeväärtus, tõeseks.
Vaatame nüüd eitust. Kui eitus toodaks sisse klassikaliselt, siis rakenduks mõnele väitele nii eitus, kui ka meie uus tehe. Seega tuuakse eitus sisse siis, kui P-st järeldub vasturääkivus ja P eitusest ei järeldu vasturääkivus.

Väärate eelduste kõrvaldamine eelduste hulgast ja paradoksid

Väärate eelduste kõrvaldamine eelduste hulgast ja paradoksid 

Karmo Talts

Sõnastame vaate, et väärad eeldused tuleb eelduste hulgast eemaldada. Kui me tähistame tühistava eituse ~-ga, siis saab selle formaliseerida nii: ¬P→~P.
Tõestame nüüd, et kui eeldusest saab tuletada vasturääkivuse, siis saab selle eelduse eemaldada eelduste hulgast. Eeldame, et P-st järeldub vasturääkivus. Siis me same sisse tuua P eituse. Kui me oleme sisse toonud P eituse, siis me saame meie teoreemi järgi P kõrvaldada eelduste hulgast.
Vaatame nüüd paradokse. Kui paradoksaalsest väitest ja paradoksaalse väite eitusest mõlemas järeldub vasturääkivus, siis me saame mõlemad kõrvaldada oma eelduste hulgast

Üldisuskvantorit kasutavate väidete eituste täpsustamise võimalus teise järgu loogikas ja esimese järgu loogika piirid

Üldisuskvantorit kasutavate väidete eituste täpsustamise võimalus teise järgu loogikas ja esimese järgu loogika piirid 

Karmo Talts

 

Vaatame väidet, et pole nii, et iga objekti x puhul on x-il predikaat P, teise järgu loogika seisukohast. Teise järgu loogika võimaldab meil täpsustada, et pole nii, et leidub predikaat P ja iga objekti x puhul on x-il predikaat P.

Vaatame nüüd, millal see täpsustus on tõene. See täpsustus on tõene siis, kui vähemalt üks kahest on tõene, kas ei leidu predikaati P või leidub x, millel puudub predikaat P.

Vaatame nüüd selle tähendust esimese järgu loogika jaoks. Kuna esimese järgu loogika ei suuda väljendada seda, et ei leidu predikaati P, siis esimese järgu loogika sunnib meid juhul, kui pole nii, et iga objekti x puhul on x-il predikaat P, järeldama, et leidub x ilma predikaadita P

Vasturääkivusega ümber käimine ja eituse definitsioon

Vasturääkivusega ümber käimine ja eituse definitsioon

Karmo Talts 

 

Vaatame vasturääkivuse seaduse mitte-formaalset sõnastust. See ei ütle midagi selle kohta, kuidas me peaks vasturääkivusega ringi käima.

Vaatame nüüd eituse defineerimise ja vasturääkivusega ümber käimise seosid. Kui me arvame, et vasturääkivatest eeldustest ja nendest tulenevatest järeldustest tuleb loobuda, siis me defineerime eituse tühistamisena (negation as cancellation). Kui me arvame, et vastruääkivad eeldused tuleb lugeda vääraks, siis me defineerime eituse väite tõeväärtust mõjutava tehtena.

Kvantfüüsika loogikale sobiv eitus

Kvantfüüsika loogikale sobiv eitus 

Karmo Talts

Vaatame, milline eitus sobiks kvantfüüsika loogikale. Kuna tulemused sõltuvad mõõtmiset, siis  P eitus ei pea ütlema, et pole nii, et P, vaid ütlema, et on välistatud, et mõõtmise tulemus ütleb, et P. 
Vaatame nüüd kahekordset eitust. Kui see käitub intuitsionistlikult ja seda ei saa ellimineerida, siis see ütleb, et pole välistatud, et mõõtmise tulemus ütleb, et P.
Vaatame nüüd superpositsiooni. Selle saab kirja panna P kahekordse eituse ja Q kahekordse eituse konjunktsioonina ja see ütleb, et pole välistatud, et mõõtmise tulemus ütleb, et P ja pole välistatud, et mõõtmise tulemus ütleb, et Q.

Tühjade tõdede eristamine mitte-tühjadest tõdedest

Tühjade tõdede eristamine mitte-tühjadest tõdedest

Karmo Talts

 

Vaatame, mida annaks tühjade tõdede eristamine mitte-tühjadest tõdedest. Kui meie eelduste hulk sisaldab eeldust, et konditsionaal "kui P, siis Q" on tühjalt tõene ja eeldust, et P on tõene, siis on meie eelduste hulk vasturääkiv. Kui meie järelduste sisaldab järeldust, et konditsionaal "kui P, siis Q" on tühjalt tõene ja järeldust, et P on tõene, siis on vähemalt üks meie eeldustest väär.

Eituse abita defineeritud hulgad ja hulkade moodustamine elementidest, mille elementidel on negatiivne predikaat

Eituse abita defineeritud hulgad ja hulkade moodustamine elementidest, mille elementidel on negatiivne predikaat

Karmo Talts

 

Üks viis hulgateoreeritili paradokse vältida on lubada hulkade moodustamist elementidest, millel on eituse abita defineeritud predikaat. Vaatame, kas siis kui me oleme konstrueerinud hulgad elementidest, mille elementide ühine predikaat on defineeritud eituse abita, saab hakata piiratud kujul kasutusele võtma hulki, mille liikmetel on negatiivsed predikaadid. Me ei luba negatiivse predikaadiga mitte-P elementidest hulkade moodustamist  mitte positiivsetest hulkadest sõltumatult, vaid nii: kui x on kõigi elementide, millel on eituse abita defineeritud predikaat P, hulk, siis elemendid, mis x-i ei kuulu, kuuluvad hulka, mille elementidel on predikaat mitte-P.
Vaatame nüüd seda hulka. See ei ole moodustatud kõigist objektidest, millel on negatiivne predikaat mitte-P, vaid see on kõigi elementide, millel on positiivne predikaat P, hulga täiend. Seega iga positiivse predikaadi P puhul leidub hulga, millesse kuuluvad kõik elemendid predikaadiga P, täiend, mille elementidel on predikaat mitte-P. 

Tähenduslike negatiivsete predikaatide küsimus

Tähenduslike negatiivsete predikaatide küsimus 
Karmo Talts

Vaatame selle võimalikke tähendusi, et paradokside juures tulevad mängu negatiivsed predikaadid. See, et näiliselt me saame defineerida negatiivse predikaadi mitte-P, ei tähenda, et leidub tähenduslik predikaat mitte-P. Sel juhul tuleb see, kas leidub tähenduslik negatiivne predikaat mitte-P, välja uurida.
Vaatame nüüd, kuidas seda välja uurida, kas leidub tähenduslik negatiivne predikaat mitte-P. Kui me konkreetsete objektide hulga x juures avastame, et x-i elementidel pole predikaati P, siis me avastame, et x-i elementidel on predikaat mitte-P ja seega leidub predikaat mitte-P, mida saab tähenduslikult rakendada x-i liikmetele. 

Vaatame nüüd, kas seda negatiivset predikaati saab tähenduslikult rakendada mõne teise hulga liikmetele. Seda, kas predikaati mitte-P saab tähenduslikult rakendada mõne teise hulga y liikmetele, sõltub sellest, kas me avastame, et y-i liikmetel puudub predikaat P.

Vaatame nüüd selle tähendust välistatud teise seaduse jaoks. Kui objektil x on predikaat P, siis iga y-i puhul y-il on predikaat P või y pole identne x-iga, kolmandat võimalust pole.
Vaatame nüüd selle tähendust vasturääkivuse jaoks. Kui objektil x on predikaat P, siis iga y-i puhul ei saa y-il korraga olla predikaat mitte-P ja y olla identne x-iga, muidu tekib vasturääkivus. 

Väidete hulkadele viitamine, tõesuse ja vääruse väitmine ning paradoksid

Väidete hulkadele viitamine, tõesuse ja vääruse väitmine ning semantilised paradoksid 

Karmo Talts

Vaatame selle tähendust, et väidetele viitamine tähendab mingile väidete hulgale viitamist. Ainult väitele P viitamine tähendab väidete hulgale, millesse kuuluv ainus väide on P, viitamist.
Vaatame nüüd väidete tõesuse väitmist. Väide, et kõik väidete hulka gamma kuuluvad väited on tõesed, on vahend kõigi gammasse kuuluvate väidete esitamiseks.
Vaatame nüüd väidete vääruse väitmist. Kõigi väidete hulka delta kuuluvate väidete vääruse väitmine on vahend kõigi deltasse kuuluvate väidete eitamiseks.
Vaatame nüüd valetajalauset. Kui leiduks väidete hulk delta, mis sisaldab ainult ühte väidet ja see väide oleks kõigi deltas leiduvate väidete eitus, siis valetajalause oleks vahend kõigi deltasse kuuluvate väidete eitamiseks. Sellist väidete hulka ei saa olla ja seega ei eita valetajalause mingeid väiteid. 

Eeldused, millest järeldub vasturääkivus ja modaalsused

Eeldused, millest järeldub vasturääkivus ja modaalsused 

Karmo Talts 

 

Vaatame eituse sissetoomist võimalikkuse seisukohast. P väärusest järeldub, et on võimalik, et P on väär. 

Kasutame nüüd transitiivsust. Kui P-st järeldub vasturääkivus siis on võimalik, et P on väär.

Sõnastame nüüd kontrapositsiooni. Kui P on paratamatult tõene, siis P-st ei järeldu vasturääkivus.

Pinocchio paradoks

Pinocchio paradoks 

Karmo Talts 

 

Vaatame Peter Eldridge-Smithi ja Veronique Eldridge-Smithi Pinocchio paradoksi. Kui eeldustest, et Pinoochio ütleb, et ta nina kasvab ja et Pinocchio nina kasvab parajasti siis, kui ta väidab midagi väära, järeldub vasturääkivus, siis on vähemalt üks neist eeldustest väär.

Pinoochiot pole tegelikult olemas. Vaatame nüüd seda paradoksi võimalikkuse seisukohast.

Kui on võimalik, et korraga Pinocchio ütleb, et ta nina kasvab ja Pinoochio nina kasvab parajasti siis, kui Pinoochio väidab midagi väära, siis on vasturääkivus võimalik. Seega on võimatu, et Pinocchio ütleb, et ta nina kasvab või on võimatu, et Pinocchio nina kasvab parajasti siis, kui ta väidab midagi väära, või on mõlemad võimatud või on võimalik, et korraga Pinocchio ütleb, et ta nina kasvab ja pole nii, et ta nina kasvab parajasti siis, kui ta väidab midagi väära ja on võimalik, et korraga ta nina kasvab siis, kui ta väidab midagi väära ja ta ei ütle, et ta nina kasvab. 

Loogika, kus vasturääkivuse seadus on kujul "väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär

Loogika, kus vasturääkivuse seadus on kujul "väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär"

Karmo Talts

 

Vaatame loogikat, kus vasturääkivuse seadus on kujul "väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär, muidu tekib vasturääkivus". Kuna vasturääkivus tekib alles siis, kui väide on korraga väär ja pole väär, siis eitus tuuakse sisse eeldusest, millest järeldub vähemalt ühte eitust kasutava väite ja selle väite eitus konjunktsioon.

Vaatame nüüd kahekordse eituse sissetoomist. Kuna väide ei saa olla korraga väär ja mitte olla väär, siis tuuakse kahekordne eitus sisse väidetest, mis kasutavad vähemalt ühte eitust.

Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi. Kuna väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär, siis saab disjunktiivset süllogismi kasutada siis, kui on tõene disjunktsioon, mille üks osaväide kasutab vähemalt ühte eitust ja on tõene selle osaväite eitus. 

Väidete jaatamine ja eitamine ning väidete oma eelduste hulka lugemine

Väidete jaatamine ja eitamine ning väidete oma eelduste hulka lugemine 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise lähenemise väidete jaatamisele: väidet P jaatada tähendab P oma eelduste hulka lugemist.
Vaatame nüüd P mitte-eeldamist. Pelk P mitte-eeldamine tähendab P oma eelduste hulka mitte lugemist ilma midagi täiendavat P kohta otsustamata.
Vaatame nüüd P eitamist. Kui pelk P oma eelduste hulka mitte lugemine ei tähenda eitamist, siis peab eitamine tähendama midagi muud, kui pelka P-d oma eelduste hulka mitte lugemist.
Sõnastame nüüd järgmise arusaama: P-d eitada tähendab P lugemist väidete hulka, mida me oma praeguse arusaama kohaselt ka edaspidi ei loe oma eelduste hulka.
Vaatame nüüd vasturääkivuse seadust. See ütleb, et ei ole võimalik lugeda väidete hulka, mida me ei kavatse ka edaspidi oma eelduste hulka lugeda, P-d ja samas meelt muutmata P-d oma eelduste hulka lugeda.