Loogika, mis lubab mõnedel väidetel sisaldada müra

Loogika, mis lubab mõnedel väidetel sisaldada müra 

Karmo Talts

 

Vaatame loogika, kus väited saavad tõeväärtuse omamise asemel sisaldada müra, loomise võimalusi. Kui P sisaldab müra, siis pole selge, mida P jaatab. Seega pole selge, mis P-st järeldub.

Vaatame nüüd P eitust. Kui P sisaldab müra, siis pole selge, mida P eitus eitab ja seega pole selge, mis järeldub P eitusest.

Vaatame nüüd konjunktsiooni. Kui P sisaldab müra, siis pole selge, milline on P ja Q konjunktsiooni ühe osavalemi tõeväärtus. Seega pole selge, kas mõlemad konjunktsiooni osavalemid on tõesed. Seega pole selge, milline on konjunktsiooni tõeväärtus. Seega pole selge, mis konjunktsioonist järeldub.

Vaatame nüüd disjunktsiooni. Kui P sisaldab müra ja Q ei sisalda müra, siis on selge, mida vähemalt üks disjunktsiooni osavalem jaatab. Seega ei saa disjunktsiooni tõeväärtus olla madalam Q tõeväärtusest.

Vaatame nüüd konditsionaali. Kui P sisaldab müra, siis pole selge, milline on konditsionaali „kui P, siis Q” eelduse tõeväärtus. Seega pole selge, milline on konditsionaali tõeväärtus. Kui P ei sisalda müra ja Q sisaldab müra ja P on väär, siis on konditsionaal väära eeldusega konditsionaal ja on tühjalt tõene. Kui P ei sisalda müra ja Q sisaldab müra ja P on tõene, siis pole selge, milline on konditsionaali järelduse tõeväärtus. Seega pole selge konditsionaali tõeväärtus. Seega pole selge, mis konditsionaalist järeldub.

Tõe koherentsiteooria ja eituse sissetoomine

Tõe koherentsiteooria ja eituse sissetoomine 

Karmo Talts

 

Vaatame eitus sissetoomist tõe  koherentsiteooria seisukohast. Kui selle tõestamiseks, et väitest P-järeldub vasturääkivus, läheb vaja eeldusi, mis P-st endast ei järeldu, siis ei tõesta see, et P-st järeldub vasturääkivus, mitte P eitust, vaid seda, et teooria ei ole kooskõlaline. Kas teooria muuta kooskõlaliseks P eitamise abil või eitades vähemalt ühte neist eeldustest, mida on vaja selle tõestamiseks, et P-st järeldub vasturääkivus, on valiku küsimus.

Vaatame nüüd selle tähendust tõe  koherentsiteooria jaoks sobiva eituse jaoks. Eitus ütleb, et P pole teooriaga kooskõlas. Lisaks võib kasutusele võtta teise eituse, mis ütleb, et P viib vasturääkivuseni kasutades ainult neid eeldusi, mis P-st ilma teiste eelduste abita järelduvad.

Hüpoteetiline disjunktsioon ja eeldustest sisse toodud disjunktsioon

Hüpoteetiline disjunktsioon ja eeldustest sisse toodud disjunktsioon 

Karmo Talts

Eristame hüpoteetilise disjunktsiooni eeldusest sisse toodud disjunktsioonist.
Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi hüpoteetilise disjunktsiooni seisukohast. Hüpoteesist, et P või Q ja P eitusest järeldub Q.
Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi eeldustest sisse toodud disjunktsiooni seisukohast. Kui me oleme sisse toonud P ja Q disjunktsiooni ja me pole eeldanud P-d, siis me oleme eeldanud Q-d.
Vaatame nüüd vasturääkivust. Hüpoteesist, et P on korraga tõene ja väär järeldub suvaline järeldus. Kui midagi sellist oleks võimalik, siis see, et me oleme korraga eeldanud P-d ja pole eeldanud P-d, tähendaks, et me oleme eeldanud midagi suvalist, sest siis me saaks sisse tuua P ja Q disjunktsiooni ja see disjunktsioon ja see, et me pole P-d eeldanud, tähendaks koos, et me oleme eeldanud Q-d. 

Deflatsiooniline tõeteooria ja väidete hulgad

Deflatsiooniline tõeteooria ja väidete hulgad

Karmo Talts 

 

Vaatame, kuidas deflatsioonilist tõeteooriat kohandada väidete hulkadele. Kui mingi hulk väiteid on tõesed, siis on nii, nagu kõik sellesse hulka kuuluvad väited ütlevad.

Vaatame nüüd võimalusi selle kirja panemiseks. Kui me tahame öelda,et on nii, nagu kõik väidete hulka gamma kuuluvad väited ütlevad, paneme me kirja kreeka tähe gamma.

Vaatame nüüd, mis sellest, et on nii, nagu kõik gammasse kuuluvad väited ütlevad, järeldub gammasse kuuluvate väidete kohta. Kui on nii, nagu kõik gammasse kuuluvad väited ütlevad ja P kuulub gammasse, siis on nii, et P.

Vaatame nüüd võimalusi selle kirja panemiseks. Eelduste hulka kirjutame me Γ ja  P∈Γ ja järelduste hulka P.

Vaatame nüüd väärasid väiteid. Kui kõik mingisse väidete hulka kuuluvad väited on väärad, siis pole nii, nagu ükski sellesse hulka kuuluv väide ütleb.

Vaatame nüüd võimalusi selle kirja panemiseks. Kui me laiendame lauseloogikat kreeka tähete abil, siis me peame lubama kreeka tähtede abil kirja pandud väidetele loogikatehete rakendamist. 

Vaatame nüüd eitust. Kuna väidete hulga gamma teeb vääraks üksainus gammasse kuuluv väär väide, siis me peame eituse rakendamise kreeka tähetedele reserveerima selle jaoks, et vähemalt üks hulka kuuluv väide on väär. Seega me vajame me uut sümbolit, mis jaatab väidete hulka kuuluvate väidete eituste konjunktsiooni.   

Vaatame nüüd, mis sellest, et pole nii, nagu ükski gammasse kuuluv väide ütleb, järeldub gammasse kuuluvate väidete kohta. Kui pole nii nagu, ükski gammasse kuuluv väide ütleb ja P kuulub gammasse, siis pole nii, et P.

Vaatame nüüd võimalusi selle kirja panemiseks. Eelduste hulka kirjutame me, et gammale rakendub meie uus tehe ja  P∈Γ ja järelduste hulka P eituse.

Klassikaline eitus, kui tõesuse eitus, dialetheism ja vasturääkivuse mõiste üldistus

Klassikaline eitus, kui tõesuse eitus, dialetheism ja vasturääkivuse mõiste üldistus 

Karmo Talts

Vaatame, miks dialetheistidel on raskusi mitte dialetheistide veenmisel selles, et tõelised vasturääkivused on olemas. Klassikaline eitus ei ole vääruse jaatus, vaid on tõesuse eitus süsteemis, kus ainus teine võimalus tõesuse kõrval on väärus. Seega klassikaline konjunktsioon P∧¬P ei ütle pelgalt seda, et P on korraga tõene ja väär, vaid ka seda, et P on tõene ja pole tõene.
Vaatame nüüd, kas dialetheisti aitaks süsteem, kus on tehe, mis jaatab väärust eitamata tõesust. Ma tähistan selle tehte /-ga. Kuna sellises süsteemis näeks see, et väide on korraga tõene ja väär, välja nii P∧/P, siis vasturääkivus muudaks selles süsteemis tähendust. Väide ei saa korraga olla tõene ja mitte olla tõene, sest siis tekiks vasturääkivus. P∧/P ei oleks selles süsteemis vasturääkivus.
Üldistame nüüd vasturääkivuse mõiste. Vasturääkivus on see, kui väitel on lubamatu tõeväärtus. 
Vaatame nüüd selle tähendust tõeliste vasturääkivuste jaoks. Tõeline vasturääkivus oleks see, kui üks ja sama tõeväärtus oleks korraga lubatud ja lubamatu.

Paradoksaalsetele väidetele rakenduv tehe ja eitus

Paradoksaalsetele väidetele rakenduv tehe ja eitus 

Karmo Talts

Vaatame tehet, mille võib kasutusele võtta pardoksaalsete väidete, mille puhul nii väitest, kui ka väite eitusest järeldub vasturääkivus, kirjeldamiseks. See tehe rakendub väitele P siis, kui P-st ja P eitusest mõlemas järeldub vasturääkivus.
Vaatame nüüd, mida see väite tõeväärtusega teeb. Kui meil on kolmas tõeväärtus, siis see tehe muudab tõese ja väära väite vääraks ning väite, millel on kolmas tõeväärtus, tõeseks.
Vaatame nüüd eitust. Kui eitus toodaks sisse klassikaliselt, siis rakenduks mõnele väitele nii eitus, kui ka meie uus tehe. Seega tuuakse eitus sisse siis, kui P-st järeldub vasturääkivus ja P eitusest ei järeldu vasturääkivus.

Tehe "predikaat pole seda tüüpi predikaat, mida saab omistada antud objektile"

Tehe "predikaat pole seda tüüpi predikaat, mida saab omistada antud objektile" 

Karmo Talts

 

Võtame kasutusele tehte "P ei ole seda tüüpi predikaat, mida saab rakendada x-ile". See tehe võib esineda nii predikaadi sees, kui ka väite ees, jättes täpsutamata, milline väites esineb predikaat on selline, mida x-ile ei saa omistada.
Vaatame nüüd uut loogikaseadust, mille see kaasa toon. Ei saa korraga olla nii, et P kasutab predikaati Q, mis on seda tüüpi predikaat, mida ei saa omistada neile objektidele, millele P Q omistab ja et P ütleb midagi sisukat.

Predikaatide, mis väljendavad tõesusest ja väärusest erinevaid tõeväärtusi, määratlemine

Predikaatide, mis väljendavad tõesusest ja väärusest erinevaid tõeväärtusi, määratlemine 

Karmo Talts 

 

Vaatame, kas on võimalik kasutusele võtta predikaadid, mis vastavad rohkem kui kahe tõeväärtusega loogika teistele tõeväärtustele. Selleks on vaja tehteid, mis muudavad sobiva tõesusest ja väärusest erineva tõeväärtusega väite tõeseks, sest selliste tehete kaudu saab teiste tõeväärtustega seotud predikaadid määratelda.
Toome näite. Võtame kasutusele tehte, mis muudab nii tõese kui ka väära väite vääraks ja mis muudab ei tõese ega väära väite tõeseks. Ma tähistan selle tehte /-ga. Defineerime nüüd predikaadi Ei tõene ega väär. Ma tähistan selle nii Ne. Ne⌜P⌝⇔/P

Tehe, mis eitab väiteid väidete tõeväärtuste kohta

Tehe, mis eitab väiteid väidete tõeväärtuste kohta
Karmo Talts
 

Üldistame eituse. Kui meil on rohkem, kui kaks tõeväärtust, siis me saame kasutusele võtta tehte, mis eitab, et väide xP, kus x on tõeväärtus, on tõene. Ma tähistan selle tehte nii /.
Vaatame nüüd, kuidas selline eitus muudab väidete tõeväärtust. Kui P-l on tõeväärtus x, siis on /xP väär. Kui P-l pole tõeväärtus x, siis on /xP tõene.

Curry lause väärus ja disjunktsiooni sissetoomine

Curry lause väärus ja disjunktsiooni sissetoomine

Karmo Talts

 

Uurime Curry lausete omadusi. Kui Curry lause on väär, siis on tema eeldus väär ja seega on Curry lause tühjalt tõene. Ühtlasi saab eeldusest, et Curry lause on väär tuua sisse disjunktsiooni „Curry lause on väär või Curry lause järeldus on tõene“, mis on ekvivalentne Curry lausega.

Sõnastame nüüd piirangu disjunktsiooni sissetoomisele: kui sissetoodavast disjunktsioonist järeldub absurdsus, siis ei tohi disjunktsiooni sisse tuua.

Vaatame nüüd selle tähendust konditsionaali jaoks. Kui konditsionaalist järeldub absurdsus, siis ei saa konditsionaali siis, kui konditsionaali eeldus on väär, lugeda tõeseks.

Disjunktsiooni "valetajalause on tõene või valetajalause on väär" tõeväärtus ja tehe, mis rakendub väitele, mis pole ei tõene ega väär

Disjunktsiooni "valetajalause on tõene või valetajalause on väär" tõeväärtus ja tehe, mis rakendub väitele, mis pole ei tõene ega väär

Karmo Talts

 

Vaatame valetajalauset. Kui valetajalausest järeldub vasturääkivus ja valetajalause eitusest järeldub vasturääkivus, siis disjunktsioonist "valetajalause on tõene või valetajalause on väär" järeldub vasturääkivus. Seega pole nii, et valetajalause on tõene või väär. Seega rikub valetajalause välistatud kolmanda seadust.

Võtame nüüd kasutusele tehte, mis muudab tõese väite vääraks ja väära väite vääraks ja ei muuda väite, mis pole ei tõene ega väär, tõeväärtust. Ma tähistan selle tehte niimoodi /.

Vaatame nüüd selle tehte sissetoomist. ¬(P∨¬P)→/P

Väidete mingil määral eitamine

Väidete mingil määral eitamine 

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi eitada väidet mingil määral loogikates, kus väide saab olla osaliselt tõene. Kui me tähistame kõige kõrgema tõeväärtuse ühega ja kõige madalama nulliga, siis klassikaline eitus lahutab tõese väite tõeväärtusest ühe ja liidab väära väite tõeväärtusele ühe.

Võtame nüüd kasutusele eitused, mis eitavad väidet määral x. Kui väite tõeväärtus on kõige kõrgem tõeväärtus miinus x, siis muudab see tehe väite tõeseks. Kui väite tõeväärtus pole kõige kõrgem tõeväärtus miinus x, siis muudab see tehe väite vääraks.

Loogikatehete sissetoomine, funktsioonid ja tehete, mille sissetoomise puhul pole tegu sama funktsiooniga, lahutamine

Loogikatehete sissetoomine, funktsioonid ja tehete, mille sissetoomise puhul pole tegu sama funktsiooniga, lahutamine mitmeks erinevaks tehteks

Karmo Talts

 

Vaatame, kas loogikatehete sissetoomise puhul on tegemist funktsioonidega. Konjunktsiooni sissetoomine seab vastavusse hulga, mille elemendid on väited A ja B ja väite A∧B. 

Disjunktsiooni sissetoomise puhul on tegemist kahe funktsiooniga. Üks seab vastavusse väite A ja väite A∨B ja teine väite B ja väite A∨B. 

Vaatame nüüd selle tähendust, et disjunktsiooni sissetoomise puhul on tegu kahe erineva funktsiooniga. Me võime lahutada disjunktsiooni kaheks tehteks. Üks kahest disjunktsioonist tuuakse sisse A-st. Ma panen selle kirja nii A∨B. See disjunktsioon ellimineeritakse nii A. Teine neist tuuakse sisse B-st. Ma panen selle kirja nii B∨A. See disjunktsioon ellimineeritakse nii B.

Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi. A∨B ja ¬A ei saa korraga olla tõesed, sest A∨B tuuakse sisse A-st. Seega on disjunktiivsel süllogismil kuju ((B∨A)∧¬A)→B.

Loogikatehted rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks

Loogikatehted rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks

Karmo Talts

 

Vaatame tehete sissetoomisreegleid, kirjutades väidete tõeväärtused välja. Ma tähistan kõige kõrgema tõeväärtuse ühe ja kõige madalama tõeväärtuse nulliga.

1P-st ja 1Q-st saab sisse tuua konjunktsiooni 1P ja 1Q. Seega väidab klassikaline konjunktsioon, et mõlemad osaväited omavad kõige kõrgemat tõeväärtust.

1P-st saab sisse tuua disjunktsiooni 1P või 1Q. Seega väidab klassikaline disjunktsioon, et vähemalt üks osaväidetest omab kõige kõrgemat tõeväärtust.

Sõnastame nüüd mitte-klassikalise konjunktsiooni sissetoomisreegli rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks. xP-st ja yQ-st, kus x on P tõeväärtus ja y Q tõeväärtus, saab sisse tuua konjunktsiooni xP ja yQ.

Sõnastame nüüd mitte-klassikalise disjunktsiooni sissetoomisreegli rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks. xP-st saab sisse tuua disjunktsiooni xP või yQ. 

Vaatame nüüd selle võimalusi sõnastada selle disjunktsiooniga ekvivalentne konditsionaal. Meil pole tehet, mis eitab, et väitel on konkreetne tõeväärtus ja samas ei täpsusta, missugune teine tõeväärtus väitel just on.

Vaatame nüüd, kuidas defineerida sellist tehet. Tehe "tõeväärtus erineb x-ist" muudab väite, mille tõeväärtus on x, vääraks ja väite, mille tõeväärtus on y, kus y ei võrdu x-iga, tõeseks. Kui P tõeväärtus on y ja y ei võrdu x-iga, siis saab sisse tuua tehte P tõeväärtus erineb x-ist.

Sõnastame nüüd disjunktsiooniga xP või yQ-iga ekvivalentse konditsionaali. Kui P tõeväärtus erineb x-ist, siis Q tõeväärtus on y.