Predikaatide, mis väljendavad tõesusest ja väärusest erinevaid tõeväärtusi, määratlemine

Predikaatide, mis väljendavad tõesusest ja väärusest erinevaid tõeväärtusi, määratlemine 

Karmo Talts 

 

Vaatame, kas on võimalik kasutusele võtta predikaadid, mis vastavad rohkem kui kahe tõeväärtusega loogika teistele tõeväärtustele. Selleks on vaja tehteid, mis muudavad sobiva tõesusest ja väärusest erineva tõeväärtusega väite tõeseks, sest selliste tehete kaudu saab teiste tõeväärtustega seotud predikaadid määratelda.
Toome näite. Võtame kasutusele tehte, mis muudab nii tõese kui ka väära väite vääraks ja mis muudab ei tõese ega väära väite tõeseks. Ma tähistan selle tehte /-ga. Defineerime nüüd predikaadi Ei tõene ega väär. Ma tähistan selle nii Ne. Ne⌜P⌝⇔/P

Tehe, mis eitab väiteid väidete tõeväärtuste kohta

Tehe, mis eitab väiteid väidete tõeväärtuste kohta
Karmo Talts
 

Üldistame eituse. Kui meil on rohkem, kui kaks tõeväärtust, siis me saame kasutusele võtta tehte, mis eitab, et väide xP, kus x on tõeväärtus, on tõene. Ma tähistan selle tehte nii /.
Vaatame nüüd, kuidas selline eitus muudab väidete tõeväärtust. Kui P-l on tõeväärtus x, siis on /xP väär. Kui P-l pole tõeväärtus x, siis on /xP tõene.

Curry lause väärus ja disjunktsiooni sissetoomine

Curry lause väärus ja disjunktsiooni sissetoomine

Karmo Talts

 

Uurime Curry lausete omadusi. Kui Curry lause on väär, siis on tema eeldus väär ja seega on Curry lause tühjalt tõene. Ühtlasi saab eeldusest, et Curry lause on väär tuua sisse disjunktsiooni „Curry lause on väär või Curry lause järeldus on tõene“, mis on ekvivalentne Curry lausega.

Sõnastame nüüd piirangu disjunktsiooni sissetoomisele: kui sissetoodavast disjunktsioonist järeldub absurdsus, siis ei tohi disjunktsiooni sisse tuua.

Vaatame nüüd selle tähendust konditsionaali jaoks. Kui konditsionaalist järeldub absurdsus, siis ei saa konditsionaali siis, kui konditsionaali eeldus on väär, lugeda tõeseks.

Disjunktsiooni "valetajalause on tõene või valetajalause on väär" tõeväärtus ja tehe, mis rakendub väitele, mis pole ei tõene ega väär

Disjunktsiooni "valetajalause on tõene või valetajalause on väär" tõeväärtus ja tehe, mis rakendub väitele, mis pole ei tõene ega väär

Karmo Talts

 

Vaatame valetajalauset. Kui valetajalausest järeldub vasturääkivus ja valetajalause eitusest järeldub vasturääkivus, siis disjunktsioonist "valetajalause on tõene või valetajalause on väär" järeldub vasturääkivus. Seega pole nii, et valetajalause on tõene või väär. Seega rikub valetajalause välistatud kolmanda seadust.

Võtame nüüd kasutusele tehte, mis muudab tõese väite vääraks ja väära väite vääraks ja ei muuda väite, mis pole ei tõene ega väär, tõeväärtust. Ma tähistan selle tehte niimoodi /.

Vaatame nüüd selle tehte sissetoomist. ¬(P∨¬P)→/P

Väidete mingil määral eitamine

Väidete mingil määral eitamine 

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi eitada väidet mingil määral loogikates, kus väide saab olla osaliselt tõene. Kui me tähistame kõige kõrgema tõeväärtuse ühega ja kõige madalama nulliga, siis klassikaline eitus lahutab tõese väite tõeväärtusest ühe ja liidab väära väite tõeväärtusele ühe.

Võtame nüüd kasutusele eitused, mis eitavad väidet määral x. Kui väite tõeväärtus on kõige kõrgem tõeväärtus miinus x, siis muudab see tehe väite tõeseks. Kui väite tõeväärtus pole kõige kõrgem tõeväärtus miinus x, siis muudab see tehe väite vääraks.

Loogikatehete sissetoomine, funktsioonid ja tehete, mille sissetoomise puhul pole tegu sama funktsiooniga, lahutamine

Loogikatehete sissetoomine, funktsioonid ja tehete, mille sissetoomise puhul pole tegu sama funktsiooniga, lahutamine

Karmo Talts

 

Vaatame, kas loogikatehete sissetoomise puhul on tegemist funktsioonidega. Konjunktsiooni sissetoomine seab vastavusse hulga, mille elemendid on väited A ja B ja väite A∧B. 

Disjunktsiooni sissetoomise puhul on tegemist kahe funktsiooniga. Üks seab vastavusse väite A ja väite A∨B ja teine väite B ja väite A∨B. 

Vaatame nüüd selle tähendust, et disjunktsiooni sissetoomise puhul on tegu kahe funktsiooniga. Me võime lahutada disjunktsiooni kaheks tehteks. Üks kahest disjunktsioonist tuuakse sisse A-st. Ma panen selle kirja nii A∨B. See disjunktsioon ellimineeritakse nii A. Teine neist tuuakse sisse B-st. Ma panen selle kirja nii B∨A. See disjunktsioon ellimineeritakse nii B.

Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi. A∨B ja ¬A ei saa korraga olla tõesed, sest A∨B tuuakse sisse A-st. Seega on disjunktiivsel süllogismil kuju ((B∨A)∧¬A)→B.

Loogikatehted rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks

Loogikatehted rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks

Karmo Talts

 

Vaatame tehete sissetoomisreegleid, kirjutades väidete tõeväärtused välja. Ma tähistan kõige kõrgema tõeväärtuse ühe ja kõige madalama tõeväärtuse nulliga.

1P-st ja 1Q-st saab sisse tuua konjunktsiooni 1P ja 1Q. Seega väidab klassikaline konjunktsioon, et mõlemad osaväited omavad kõige kõrgemat tõeväärtust.

1P-st saab sisse tuua disjunktsiooni 1P või 1Q. Seega väidab klassikaline disjunktsioon, et vähemalt üks osaväidetest omab kõige kõrgemat tõeväärtust.

Sõnastame nüüd mitte-klassikalise konjunktsiooni sissetoomisreegli rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks. xP-st ja yQ-st, kus x on P tõeväärtus ja y Q tõeväärtus, saab sisse tuua konjunktsiooni xP ja yQ.

Sõnastame nüüd mitte-klassikalise disjunktsiooni sissetoomisreegli rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks. xP-st saab sisse tuua disjunktsiooni xP või yQ. 

Vaatame nüüd selle võimalusi sõnastada selle disjunktsiooniga ekvivalentne konditsionaal. Meil pole tehet, mis eitab, et väitel on konkreetne tõeväärtus ja samas ei täpsusta, missugune teine tõeväärtus väitel just on.

Vaatame nüüd, kuidas defineerida sellist tehet. Tehe "tõeväärtus erineb x-ist" muudab väite, mille tõeväärtus on x, vääraks ja väite, mille tõeväärtus on y, kus y ei võrdu x-iga, tõeseks. Kui P tõeväärtus on y ja y ei võrdu x-iga, siis saab sisse tuua tehte P tõeväärtus erineb x-ist.

Sõnastame nüüd disjunktsiooniga xP või yQ-iga ekvivalentse konditsionaali. Kui P tõeväärtus erineb x-ist, siis Q tõeväärtus on y.