Välistatud kolmanda seaduse ekvivalentsus konditsionaaliga „kui P, siis P” ja rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikad

Välistatud kolmanda seaduse ekvivalentsus konditsionaaliga „kui P, siis P” ja rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikad

Karmo Talts

 

Vaatame selle, et välistatud kolmanda seadus on ekvivalentne  on ekvivalentne konditsionaaliga „kui P, siis P”, tähendust rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks. Kui P ja P eituse disjunktsioonil pole kõige kõrgem tõeväärtus, siis konditsionaalil „kui P, siis P” pole kõige kõrgem tõeväärtus.

Vaatame nüüd parakompliitseid loogikaid. Kui parakompliitses loogikas pole P tõene ega väär, siis pole P eitus tõene ega väär. Seega pole P ja P eituse disjunktsioon ei tõene ega väär ja konditsionaalid „kui P, siis P” pole ei tõene ega väär.

Klassikaline eitus, kui tõesuse eitus, dialetheism ja vasturääkivuse mõiste üldistus

Klassikaline eitus, kui tõesuse eitus, dialetheism ja vasturääkivuse mõiste üldistus 

Karmo Talts

Vaatame, miks dialetheistidel on raskusi mitte dialetheistide veenmisel selles, et tõelised vasturääkivused on olemas. Klassikaline eitus ei ole vääruse jaatus, vaid on tõesuse eitus süsteemis, kus ainus teine võimalus tõesuse kõrval on väärus. Seega klassikaline konjunktsioon P∧¬P ei ütle pelgalt seda, et P on korraga tõene ja väär, vaid ka seda, et P on tõene ja pole tõene.
Vaatame nüüd, kas dialetheisti aitaks süsteem, kus on tehe, mis jaatab väärust eitamata tõesust. Ma tähistan selle tehte /-ga. Kuna sellises süsteemis näeks see, et väide on korraga tõene ja väär, välja nii P∧/P, siis vasturääkivus muudaks selles süsteemis tähendust. Väide ei saa korraga olla tõene ja mitte olla tõene, sest siis tekiks vasturääkivus. P∧/P ei oleks selles süsteemis vasturääkivus.
Üldistame nüüd vasturääkivuse mõiste. Vasturääkivus on see, kui väitel on lubamatu tõeväärtus. 
Vaatame nüüd selle tähendust tõeliste vasturääkivuste jaoks. Tõeline vasturääkivus oleks see, kui üks ja sama tõeväärtus oleks korraga lubatud ja lubamatu.

Nõrk Kleene´i loogika ja paradoksid

Nõrk Kleene´i loogika ja paradoksid 

Karmo Talts 

 

Vaatame nõrga Kleene´i loogika eeliseid paradokside käsitlemisel. Kui iga väide, mille vähemalt üks osaväide on tõevääruseta, on tõevääruseta, siis juhul, kui P on tõevääruseta, kaotab ka skeem "P on tõene parajasti siis, kui P" tõeväärtuse. Kättemaksulaused ei too paradoksi tagasi, sest kättemaksulause R on skeemi "R on tõene parjastis siis, kui R" osaväide ja muudab selle skeemi tõeväärtuseta väiteks.

Paradoksaalsetele väidetele rakenduv tehe ja eitus

Paradoksaalsetele väidetele rakenduv tehe ja eitus 

Karmo Talts

Vaatame tehet, mille võib kasutusele võtta pardoksaalsete väidete, mille puhul nii väitest, kui ka väite eitusest järeldub vasturääkivus, kirjeldamiseks. See tehe rakendub väitele P siis, kui P-st ja P eitusest mõlemas järeldub vasturääkivus.
Vaatame nüüd, mida see väite tõeväärtusega teeb. Kui meil on kolmas tõeväärtus, siis see tehe muudab tõese ja väära väite vääraks ning väite, millel on kolmas tõeväärtus, tõeseks.
Vaatame nüüd eitust. Kui eitus toodaks sisse klassikaliselt, siis rakenduks mõnele väitele nii eitus, kui ka meie uus tehe. Seega tuuakse eitus sisse siis, kui P-st järeldub vasturääkivus ja P eitusest ei järeldu vasturääkivus.

Tarski skeem ja täiendavad tõeväärtused

Tarski skeem ja täiendavad tõeväärtused 

Karmo Talts

Vaatame, kuidas mõjutab Tarski skeemi see, kui tuua mängu täiendavad tõeväärtused. See tekitab küsimuse, mida üldse mõeldakse selles skeemis tõesusega.
Oletame nüüd, et selles skeemis mõeldakse klassikalist tõesust. Bikonditsionaal "P on tõene parajasti siis, kui P" on tõene siis, kui on tõesed konditsionaalid "kui P on tõene, siis P" ja "kui P, siis P on tõene". Kumbki konditsionaal ise ei pruugi enam omada kõige kõrgemat tõeväärtust, sest ei nende eeldused, ega järeldused ei pruugi omada klassikalisi tõeväärtusi.
Vaatame nüüd konditsionaali "kui P, siis P on tõene" tõeväärtust. Tähistame P tõeväärtuse x-iga. Kui x on kõige kõrgem tõeväärtus, siis on see konditsionaal tõene. 
Vaatame nüüd x-i teisi väärtusi. Kui me rakendame mina maxi seadusi, siis juhul, kui x pole kõige kõrgem tõeväärtus, siis konditsionaali järelduse tõeväärtus on üks minus x. Seega sõltub selle konditsionaali tõeväärtus neil juhtudel sellest, kas x on võrdne üks miinus x-iga või suurem või väiksem üks miinus x-ist.
Vaatame nüüd konditsionaali "kui P on tõene, siis P" tõeväärtust. Tähistame väite "P on tõene" tõeväärtuse x-iga. Kui x on kõige kõrgem tõeväärtus, siis on see konditsionaal tõene.
Vaatame nüüd x-i teisi väärtusi. Kui me rakendame mina maxi seadusi, siis juhul, kui x pole kõige kõrgem tõeväärtus, siis konditsionaali järelduse tõeväärtus on üks miinus x. Seega sõltub selle konditsionaali tõeväärtus neil juhtudel sellest, kas x on võrdne x miinus ühega või suurem või väiksem x miinus ühest.

Piiripealsete juhtude kohta käivate väidete formaliseerimine ja lõpmatult väiksed arvud

Piiripealsete juhtude kohta käivate väidete formaliseerimine ja lõpmatult väiksed arvud 

Karmo Talts

Vaatame piiripealsete juhtude kohta käivate väidete formaliseeriminet matemaatika seisukohast. Kõige täpsem oleks juhul, kui asjad on selle, et on nii, et P, piiril, kasutada tõeväärtuste tähistamiseks arvude, mille hulka kuuluvad ka lõpmatult väiksed arvud, vahemikku nullist üheni. Sel juhul võib P tõeväärtus olla ühest lõpmatult väikse arvu võrra väiksem.

Vaatame nüüd võimalusi piiripealseid juhte modelleerida siis, kui me ei taha kasutada nii rikka struktuuriga arve. Me võime määrata piiripealsele juhul ligikaudse hägusate väärtuste vahemiku, kuhu väite tõeväärtus kuulub või määrata väite tõeväärtuse limiidiks kõige kõrgema tõeväärtuse.

Rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikad ja tõeväärtus-predikaadid

Rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikad ja tõeväärtus-predikaadid  

Karmo Talts 

 

Vaatame selle tähtsust, et Tarski skeemis on tõesus ekvivalentne kõige kõrgema tõeväärtuse omamisega. Tarski skeemi tõepredikaat ei ole mõnede rohkem kui kahe tõeväärtusega loogika seisukohalt kõigile tõestele väidetele rakenduv predikaat.

Vaatame Tarski tõepredikaati hägusloogika seisukohast. P-l on kõige kõrgem tõeväärtus siis, kui P on täiesti tõene. St., et tegemist on täieliku tõesuse predikaadiga. 

Vaatame nüüd ilma täpsustusteta tõesuse predikaati. See on hägusloogikas seisukohalt hägus, sest öeldes, et väide on tõene, ei ütle me selgelt, mil määral on väide tõene.

Vaatame nüüd predikaati Mingil määral tõene. P on mingil määral tõene parajasti siis, kui P-l ei ole ei kõige kõrgem ega kõige madalam tõeväärtus. 

Vaatame nüüd kolme tõeväärtusega parakonsistentseid loogikaid, kus on eraldi tõeväärtus väidete jaoks, mis on korraga tõesed ja väärad. Tarski tõepredikaat on nende loogikate seisukohast ainult tõesuse predikaat.

Vaatame nüüd predikaati Korraga tõene ja väär. P on korraga tõene ja väär siis, kui P-l on keskmine tõeväärtus.

Vaatame nüüd parakompliitseid loogikaid. Kuigi tõepredikaat  katub neil kahe tõeväärtusega loogika omaga, jääb neis loogikates tõesuse ja vääruse predikaadist väheks.

Vaatame nüüd predikaati Ei tõene ega väär. P pole ei tõene ega väär parajasti siis, kui P-l on keskmine tõeväärtus. 

Intuitsionistliku tõesuse tõlgendamine välja uuritavusena

Intuitsionistliku tõesuse tõlgendamine välja uuritavusena 

Karmo Talts

Vaatame võimalusi intuitsionistliku tõesuse tõlgendamiseks. Kui me tõlgendame seda tõesust tõestatvusena, siis tekib küsimus, mismoodi me saame intuitsionistliku loogikat kasutades üldse midagi eeldada, mida me pole tõestanud.
Vaatame nõõd võimalust, et väide P on intuitsionistlikult tõene parajasti siis, kui P on tõestatav või P on intuitsioonis antud. See tekitab küsimuse, kas tõetatavus ja intuitsioonis antud peaks olema sama tõeväärtus.
Vaatame nüüd, mis on ühist tõestatavusel ja intuitsioonis antusel. Kui me usaldame intuitsioone, siis nii siis, kui P on tõestatav, kui ka siis, kui P on intuitsioonis antud, siis on välja uuritav, et P.
Vaatame nüüd selle eitust, et on väljauuritavalt nii, et P. Sellest ei järeldu tingimata, et pole nii, et P, vaid kõigest, et pole nii et P või P ja pole välja uuritav, et P.
Vaatame nüüd võimalikke tõeväärtusi selle vahel, et välja uuritavalt on nii, et P ja pole väljauuritavalt nii, et P. Üks võimalus on, et pole ei nii, et välja uuritaval on nii, et P ja pole ka nii, et pole välja uuritavalt nii, et P. Üks neist on, et on mingil määral välja uuritatavalt nii, et P ja mingil määral pole nii, et välja uuritavalt P.

Rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate tõeväärtused ja tõeteooriad

Rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate tõeväärtused ja tõeteooriad 

Karmo Talts

Tõlgendame rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate  tõeväärtusi tõeteooriate valguses. 
Alustame ei tõesuse ega vääruse tõlgendamisega tõe vastavusteooria valguses. P pole ei tõene ega väär siis, kui korraga pole ei nii, et P vastab tegelikkusele, ega ka nii, et P ei vasta tegelikkusele.
Vaatame nüüd tõe koherentsiteooriat. Teoorias pole ei tõene ega väär siis, kui pole ei nii, et teooria on kooskõlaline, ega nii, et teooria pole kooskõlaline.
Vaatame nüüd semantilist tõeteooriat. P pole ei tõene ega väär siis, kui pole ei nii, et P, ega nii, et pole nii, et P.
Tõlgendame nüüd korraga tõesust ja väärust  tõe vastavusteooria valguses. P on korraga tõene ja väär siis, kui on korraga nii, et P vastab tegelikkusele ja P ei vasta tegelikkusele.
Vaatame nüüd tõe koherentsiteooriat. Teooria on korraga tõene ja väär siis, kui teooria on korraga kooskõlaline ja pole kooskõlaline.
Vaatame nüüd semantilist tõeteooriast. P on korraga tõene ja väär siis, kui korraga on nii, et P ja pole nii, et P.
Vaatame nüüd osalist tõde vastavusteooria valguses. Osaliselt tõene väide P on tõene määral x siis, kui see, et P vastab tegelikkusele, on selge määral x.
Vaatame nüüd tõe koherentsiteooriat. Osaliselt tõene teooria on tõene määral x siis, kui on see, et teooria on kooskõlaline, on selge määral x.
Vaatame nüüd semantilist tõeteooriast. Osaliselt tõene väide P on tõene määral x siis, kui see, et P, on selge määral x.

Eeldus, et kui x-i omadused esindavad omaduse y piiri-pealset juhtu, siis x-l on omadus y või x-l on omaduest y veidi erinev omadus ja hägusloogika

Eeldus, et kui x-i omadused esindavad omaduse y piiri-pealset juhtu, siis x-l on omadus y või x-l on omaduest y veidi erinev omadus ja hägusloogika

Karmo Talts

 

Vaatame eeldust, et kui x-i omadused esindavad omaduse y piiri-pealset juhtu, siis x-l on omadus y või x-l on omaduest y veidi erinev omadus, hägusloogika seisukohast. Hägusloogika seisukohast tähendab sellele eeldusele kõige kõrgema tõeväärtuse omistamine seda, et me omistame kõige kõrgema tõeväärtuse vähemalt ühele selle disjunktsiooni osaväitele. 

Vaatame nüüd, mida tähendab vähemalt ühele selle disjunktsiooni osaväitele kõige kõrgema tõevääruse omistamine. See tähendab eeldamist, et on selge, et x-l on omadus y või on selge, et x-l on omadusest y veidi erinev omadus või on selge, et on nii, nagu mõlemad osaväited väidavad  Kuna ebamäärasuse korral pole selge see, kas on nii, nagu disjunktsiooni esimene osaväide ütleb ja pole selge, et on nii nagu disjunktsiooni teine osaväide ütleb, siis pole eeldusel,  et kui x-i omadused esindavad omaduse y piiri-pealset juhtu, siis x-l on omadus y või x-l on omaduest y veidi erinev omadus, kõige kõrgem tõeväärtus. 

Predikaatide, mis väljendavad tõesusest ja väärusest erinevaid tõeväärtusi, määratlemine

Predikaatide, mis väljendavad tõesusest ja väärusest erinevaid tõeväärtusi, määratlemine 

Karmo Talts 

 

Vaatame, kas on võimalik kasutusele võtta predikaadid, mis vastavad rohkem kui kahe tõeväärtusega loogika teistele tõeväärtustele. Selleks on vaja tehteid, mis muudavad sobiva tõesusest ja väärusest erineva tõeväärtusega väite tõeseks, sest selliste tehete kaudu saab teiste tõeväärtustega seotud predikaadid määratelda.
Toome näite. Võtame kasutusele tehte, mis muudab nii tõese kui ka väära väite vääraks ja mis muudab ei tõese ega väära väite tõeseks. Ma tähistan selle tehte /-ga. Defineerime nüüd predikaadi Ei tõene ega väär. Ma tähistan selle nii Ne. Ne⌜P⌝⇔/P

A generalization of the laws and theorems of classical logic for truth values ​​x and y

A translation of https://dialoogid2.blogspot.com/2026/01/klassikalise-loogika-seaduste-ja.html 

 

A generalization of the laws and theorems of classical logic for truth values ​​x and y 

Karmo Talts 

 

Let's generalize the laws of logic for truth values ​​x and y. A statement P cannot have a truth value x and not have the truth value x at the same time. A statement P has a truth value x or a statement P has a truth value different from x. 

Now let's look at the theorems. If P has a truth value x, then the negation of the negation of P has the truth value x. If the assumption that P has a truth value x implies a contradiction, then P does not have the truth value x. If P has a truth value x and Q has a truth value y, then the conjunction P and Q has the lowest truth value amongat truth values ​​x and y. If P has a truth value x, then we can introduce the disjunction P has the truth value x or Q has a truth value y. If P does not have a truth value x or Q has a truth value y, then if P has the truth value x, Q has the truth value y. If P has a truth value x or Q has a truth value y, then if P does not have the truth value x, Q has the truth value y. If, when P has a truth value x, Q has a truth value y and P has the truth value x, then Q has the truth value y. If, when P has a truth value x, Q has a truth value y and Q does not have the truth value y, then P does not have thr truth value x.

Tõelähedus ja vasturääkivus

Tõelähedus ja vasturääkivus 

Karmo Talts

Võtame kasutusele rohkem, kui kaks tõeväärtust, millest kõige kõrgem tõeväärtus on tõeväärtus "tõene", kõige madalam tõeväärtus on tõeväärtus "minimaalselt tõelähedane" ja vahepealsed tõeväärtused on rohkem või vähem tõelähedased.
Vaatame nüüd, millal on sellises loogikas tegemist vasturääkivusega. See on nii, kui väide on korraga tõene ja tõesest erineva tõeväärtusega.
Vaatame nüüd, mis järeldub sellises loogikas sellest, et väitest P järeldub vasturääkivus. See tähendab, et P pole tõene, ilma täiendavte eeldusteta pole aga selge, mil määral P on tõelähedane.

Mistahes tõeväärtuste arvuga loogika tõeväärtuste hulga laiendamine ja paradoksid

Mistahes tõeväärtuste arvuga loogika tõeväärtuste hulga laiendamine ja paradoksid 

Karmo Talts

Vaatame võimalust, mistahes tõeväärtuste arvuga loogika tõeväärtuste hulga laiendamiseks. Kui loogikal on tõeväärtused, x,y... jne., siis me võime lisada tõeväärtuse "mitte ükski neist".
Vaatame nüüd paradokse. Suvalist loogikat, mille jaoks on võimalik luua kättemaksulause kujul "sellel väitel pole tõeväärtust x" võib laiendada nii, et selles on tõeväärtus "pole nii, et sellel väitel on tõeväärtus x ega pole nii, et sellel väitel pole tõeväärtust x". 

Modaalsuste käsitlemine tõeväärtustena

Modaalsuste käsitlemine tõeväärtustena

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi käsitleda modaalsusi tõeväärustena. Paratamatult tõene on kõige kõrgem tõeväärtus, sattumuslikult tõene veidi madalam tõeväärtus, sattumuslikult väär veel madalam tõeväärtus ja paratamatult väär kõige madalam tõeväärtus.

Vaatame nüüd konjunktsiooni. Konjunktsiooni tõeväärtus on võrdne kõige madalama tõeväärtusega osaväite tõeväärtusega. Näiteks siis, kui P on paratamatult tõene ja Q on sattumuslikult tõene, siis on P ja Q konjunktsioon on sattumuslikult tõene.

Vaatame nüüd disjunktsiooni. Disjunktsiooni tõeväärtus on võrdne kõige kõrgema tõeväärtusega osaväite tõeväärusega. Näiteks siis, kui P on paratamatult tõene ja Q on sattumuslikult tõene, siis on P ja Q disjunktsioon paratamatult tõene.

Vaatame nüüd konditsionaali. Kui konditsionaali eeldus on väär, siis on konditsionaal tõene. See, kas konditsionaal on sel juhul paratamatult tõene või sattumuslikult tõene, sõltub sellest, kas eeldus on paratamatult väär või sattumuslikult väär. Kui konditsionaali eeldus on tõene ja järeldus on väär, siis on konditsionaal väär. See, kas konditsionaal on sel juhul paratamault väär või sattumuslikult väär, sõltub sellest, kas eeldus on paratamault tõene  või sattumuslikult tõene. Kui konditsionaali eeldus ja järeldus on tõesed, siis on konditsionaal tõene. See, kas konditsionaal on paratamatult tõene või satumuslikult tõene sõltub sel juhul sellest, kas konditsionaali eeldus on paratamatult tõene või sattumuslikult tõene. 

Võimalike tõeväärtuste vahemik ja paradoksid

Võimalike tõeväärtuste vahemik ja paradoksid

Karmo Talts 

 

Vaatame võimalust käsitleda eeldusi nii, et nende tõeväärtus pole tingimata fikseeritud, vaid jääb vahemiku [x,y]. Kui väitel on fikseeritud tõeväärtus, siis langevad x ja y kokku.

Vaatame nüüd ebamäärasust. Kui x juukeskarvaga inimene pole kiilas, siis väite "x miinus ühe juuksekarvaga inimene pole kiilas" tõeväärtus jääb vahemikku, mille kõige kõrgem tõeväärtus on täiesti tõene ja kõige madalam tõeväärtus tõesusest veidi madalam. Kui väide  x juukeskarvaga inimene pole kiilas on peaaegu tõene, siis väite "x miinus ühe juuksekarvaga inimene pole kiilas" tõeväärtus jääb vahemikku, mille kõige kõrgem tõeväärtus on peaaegu tõene ja kõige madalam tõeväärtus peaaegu tõesusest veidi madalam. Jne.

Vaatame nüüd vasturääkivuseni viivaid paradokse. Paradoksaalsete lausete tõeväärtus jääb mingisse vahemikku ja seda ei saa täpselt kindlaks teha.

Võimaluse, et mõned vasturääkivused pole ei tõesed ega väärad, lubamine

Võimaluse, et mõned vasturääkivused pole ei tõesed ega väärad, lubamine

Karmo Talts

 

Eeldame, et vasturääkivus on väär või pole ei tõene ega väär. Sel juhul erinevad teoreemid, mis käsitlevad eeldusi, millest järeldub vasturääkivus, klassikalistest.

Vaatame nüüd eituse sisse toomist. Kui väitest järeldub vasturääkivus, siis on väide väär või pole ei tõene ega väär. 

Vaatame nüüd absurdi tõestamist. Kui väite eitusest järeldub vasturääkivus, siis on väide tõene või pole ei tõene ega väär.

Tõeväärtuseta väidetest tulenevate järelduste tõeväärtus

Tõeväärtuseta väidetest tulenevate järelduste tõeväärtus
Karmo Talts

Vaatame tõeväärtuseta väidetest tulenevate järelduste tõeväärtuse küsimust. Tõeväärtuseta väitest järeldub vähemalt üks tõeväärtuseta väide.
Vaatame nüüd valetajalauset. Väitest "see väide on väär" järeldub, et väide "see väide on väär" on tõene. Kui väitel "see väide on väär" pole tõeväärtust, siis pole ka väitel "väide "see väide on väär" on tõene" tõeväärtust.

Tehe, mis eitab väiteid väidete tõeväärtuste kohta

Tehe, mis eitab väiteid väidete tõeväärtuste kohta
Karmo Talts
 

Üldistame eituse. Kui meil on rohkem, kui kaks tõeväärtust, siis me saame kasutusele võtta tehte, mis eitab, et väide xP, kus x on tõeväärtus, on tõene. Ma tähistan selle tehte nii /.
Vaatame nüüd, kuidas selline eitus muudab väidete tõeväärtust. Kui P-l on tõeväärtus x, siis on /xP väär. Kui P-l pole tõeväärtus x, siis on /xP tõene.

Vasturääkivuse seaduse üldistus kujule "väitel ja väite eitusel ei saa korraga olla kõige kõrgem tõeväärtus" ja paradoksid

Vasturääkivuse seaduse üldistus kujule  "väitel ja väite eitusel ei saa korraga olla kõige kõrgem tõeväärtus" ja paradoksid

Karmo Talts

 

Üldistame vasturääkivuse seaduse järgmisele kujule: väitel ja väite eitusel ei saa korraga olla kõige kõrgem tõeväärtus.

Vaatame nüüd selle tähendust selle jaoks, kui väitest järeldub vasturääkivus. Kui väitest järeldub vasturääkivus, siis pole väitel kõige kõrgem tõeväärtus.

Vaatame nüüd seda tõeväärtust lähemalt. Mida kõrgem on väite, millest järeldub vasturääkivus, eituse tõeväärtus, seda madalam on väite tõeväärtus ja vastupidi.

Vaatame nüüd paradokse. Kui väitest ja väite eitusest järeldub mõlemast vasturääkivus, siis pole kummalgi kõige kõrgem tõeväärtus. Kuna mõlemal on kõige kõrgemast erinev tõeväärtus, siis pole kummalgi ka kõige madalam tõeväärtus.