Tavakeele konditsionaalid ja võimalikud tulevikud

Tavakeele konditsionaalid ja võimalikud tulevikud 

Karmo Talts

 

Vaatame probleeme tavakeele konditsionaalide materiaalse konditsionaalidena käsitlemisel. Kui ma ütlen, et kui sajab vihma, siis sa saad märjaks, siis ma ei räägi üldse olevikust, vaid võimalikest tulevikest.

Vaatame nüüd võimalikke tulevikke. Kui ma ei peaks võimalikuks seda, et tulevikus sajab vihma ja saad märjaks, siis ma ei hakkaks sind selle eest hoiatama. Seega on osa tavakeele konditsionaali „kui vihma sajab, siis sa saad märjaks” sisust, et tulevikus on see võimalik, et konditsionaali mõlemad pooled on tõesed.

Vaatame nüüd, millal ma sind ei hoiataks, kui ma pean seda võimalikuks. Kui ma peaks võimalikuks, et sa vihma ajal saad vihmast sõltumatu põhjusel märjaks ja muid võimalusi, kus sa vihma ajal märjaks saad, ma ei näe ette, siis ma ei hakkaks sind samuti hoiatama. Seega ma pean silmas, et on võimalik, et sa saad vihma ajal märjaks vihma tagajärjel, kui sa midagi ette ei võta.

Soriitide paradoks ja objektide piisav sarnasus selleks, et neil oleks sama predikaat

Soriitide paradoks ja objektide piisav sarnasus selleks, et neil oleks sama predikaat 

Karmo Talts

 

Tõlgendame soriitide eeldust nii: kui x-l on predikaat P ja y on x-iga piisavalt sarnane, siis y-il on predikaat P.

Vaatame nüüd, kuidas soriidid tõlgendavad piisavat sarnasust. Soriidid tõlgendavad seda kvantitiivselt: kui kahe objekti osade arv on sarnane, siis on kaks objekti piisavalt sarnased selleks, et neil oleks samad predikaadid. Kui sellest, et objektide osade arv on sarnane, ei piisa selleks, et neil oleks ka muud sarnased predikaadid, siis soriidid eksivad.

Pascali kihlveo üldistus ja seda laadi argumentide praktiline tähtsus

Pascali kihlveo üldistus ja seda aladi argumentide praktiline tähtsus 

Karmo Talts

 

Üldistame Pascali kihlveo. P tõesuse ja selle, kas me usume P tõesust, suhtes on neli võimalust. P on tõene ja me usume P tõesust või P on väär ja me usume P tõesust või P on tõene ja me ei usu P tõesust või P on väär ja me ei usu P tõesust.

Vaatame nüüd selle tähendust seda laadi argumentide praktilise tähtsuse jaoks. Kuigi selle, kas on nii, et kui P, siis juhtub midagi halba ja me usume, et kui P, siis juhtub midagi halba, suhtes on neli võimalust, on neli võimalust ka selle, et kui pole nii, et P, siis juhtub midagi halba ja me usume, kui pole nii, et P, siis juhtub midagi halba, suhtes. Seega pole seda laadi argumentidel mingit praktilist tähtsust, sest tagades selle, et pole nii, et P, võtame me riski, et siis, kui pole nii, et P, juhtub midagi halba.

Vasturääkivuse plahvatavus ja tühjad tõed

Vasturääkivuse plahvatavus ja tühjad tõed 
Karmo Talts

Vaatame, kuidas on seotud tühjad tõed ja vasturääkivuse plahvatavus. Kui väide on P väär, siis on tühi tõde, et P-st järeldub suvaline järeldus Q. Sellest, et P on vasturääkiv, järeldub konjunktsiooni elimineerimisel, et P on väär. Sellest, et P on väär, järeldub, et konditsionaal "kui P, siis Q" on tühi tõde. Sellest, et P on vasturääkiv, järeldub konjunktsiooni elimineerimisel, et P. P-st ja konditsionaalist "kui P, siis Q" järeldub Q.

 

Vääruse tõestav konditsionaal ja konditsionaali tõesuse tarvilikud tingimused

Vääruse tõestav konditsionaal ja konditsionaali tõesuse tarvilikud tingimused 

Karmo Talts

Vaatame, mida see tähendab, kui konditsionaal "kui P, siis Q" tõestab vääruse. Siis pole nii, nagu see konditsionaal ütleb.
Vaatame nüüd selle tähendust konditsionaali tõestamise jaoks. Konditsionaali tõestamise üks tarvilik tingimus on, et tõestatavast konditsionaalist ei järeldu väärus.
Vaatame nüüd selle tingimusega modifitseeritud materiaalset konditsionaali. See on ekvivalentne väidete "väärus pole tõene" ja "pole nii, et P või on nii, et Q" konjunktsiooniga.
Vaatame nüüd selle tähendust disjunktsiooni jaoks. Disjunktsioon ei pruugi olla kooskõlaline.

Curry paradoks ja väärate järeldustega konditsionaalide tõestamise küsimus

Curry paradoks ja väärate järeldustega konditsionaalide tõestamise küsimus 

Karmo Talts

Vaatame Curry paradoksi seost väärate järeldustega konditsionaalide tõestamise küsimusega. Kui see, et P tõestab vääruse, tõestab konditsionaali "kui P, siis väärus", siis Curry paradoks tõestab iseennast ja vääruse.
Vaatame nüüd konditsionaali, mille tõestamiskes on vaja, et P tõestab tõese väite. Kui P tõestab tõese väite Q ja P on väär, siis on konditsionaal "kui P, siis Q" tühjalt tõene. Kui P tõestab tõese väite Q ja P on tõene, siis on konditsionaal "kui P, siis Q" mitte-tühjalt tõene.
Vaatame nüüd, kuidas käitub seda konditsionaali kasutav tõeskeem. Kui on nii, et P ja P on tõene, siis on tõeskeem mitte-tühjalt tõene. Kui P on väär ja pole nii, et P, siis me vajame eraldi vääruse skeemi, mis on sel juhul mitte-tühjalt tõene, sest tõesuse skeem pole sel juhul tühjalt tõene ja me ei saa seda kasutades järeldada, et P pole tõene.        

Loogika, kus väite eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume seda väidet eeldamast

Loogika, kus väite eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume seda väidet eeldamast 

Karmo Talts 

 

Vaatame võimalusi loogika, kus väite P eitus tähendab kõigest seda, et me hoidume P-d eeldamast ja ilma täiendavate eeldusteta ei saa teha P-st tulenevaid järeldusi, loomiseks. Kui me eeldame, et on P väär või oleme P vääruse tõestanud, siis me peame hoiduma P-d eeldamast. 

Vaatame nüüd vasturääkivuse seadust. Väidet P on võimatu korraga eeldada ja mitte eeldada

Vaatame nüüd välistatud kolmanda küsimust. Me kas eeldame P-d või ei eelda P-d.

Vaatame nüüd eituse sissetoomist.Kui väitest P järeldub, et me peame korraga eeldama Q-d ja ei saa eeldada Q-d, siis me peame hoiduma P-d eeldamast.

Vaatame nüüd kahekordse eituse sissetoomist.Kui me tohime väidet P eeldada, siis pole keelatud P-d eeldada.

Vaatame nüüd disjunktsiooni sissetoomist. Kui P on tõene, siis me saame seda kasutada P ja Q disjunktsiooni sissetoomiseks. Kui P on väär, siis me ei saa seda kasutada P ja Q disjunktsiooni sisse toomiseks. Kuna P väärus tähendab kõigest seda, et me peame hoiduma P-d eeldamast, siis meil pole eitavate osaväidetega disjunktsioone. 

Vaatame nüüd konditsionaali. Kui P on väär või Q on väär, siis me ei saa neid kasutada konditsionaali "kui P, siis Q" tõestamiseks. Kuna me ei saa siis, kui P on väär, seda konditsionaali tõestada, siis ei ole meie loogikas tühjasid tõdesid. 

Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi. P väärus tähendab, et me peame hoiduma P-d eeldamast. See tähendab kõigest, et me ei saa kasutada P-d P ja Q disjunktsiooni sissetoomiseks, mitte seda, et me saaks P eitust koos P ja Q disjunktsiooniga kasutada Q järeldamiseks. 

Konditsionaal, mille eelduseks on, et saabus homne päev, ja homne merelahing

Konditsionaal, mille eelduseks on, et saabus homne päev,  ja homne merelahing

Karmo Talts

Vaatame selle tähendust, et homne merelahing toimub või jääb toimumata siis, kui saabub homne päev. Väide homse merelahingu kohta pole diskjunktsioon, vaid konditsionaal, mille järelduseks on disjunktsioon
Vaatame nüüd konditsionaali "kui saabub homne päev, siis toimub merelahing või ei toimu merelahing". Homme on see väide tõene sellepärast, et nii eeldus "saabus homne päev" kui ka järeldus "toimub merelahing või ei toimu merelahing" on tõesed.
Vaatame nüüd selle konditsionaali tõeväärtust täna. Täna on väide "saabus homne päev" väär. Seega on see konditsionaal tühjalt tõene, mitte ei ole tulevik ette määratud.

Konditsionaal, mis ei eelda järelduse kehtivust vasturääkivuse korral

Konditsionaal, mis ei eelda järelduse kehtivust vasturääkivuse korral 

Karmo Talts

 

Vaatame, milline konditsionaal ei eelda konditsionaali järelduse kehtimist vasturääkivuse korral. Kui konditsionaal on ekvivalentne disjunktsiooniga "pole nii, et P või P-st ei järeldu mateerialset konditsionaali kasutades vasturääkivus ja Q", siis saab Q olla väär siis, kui meie andmetel P kehtib, juhul, kui meie andmetes on vasturääkivus.
Vaatame nüüd, kuidas sõnastada kooskõlalise tõe skeem. Kui meil on bikonditsionaal, mis on tõene siis, kui "pole nii, et P või P-st ei järeldu mateerialset konditsionaali kasutade vasturääkivus ja Q" ja "pole nii, et Q või Q-st ei järeldu mateerialset konditsionaali kasutade vasturääkivus ja P", siis on P kooskõlaliselt tõene parajasti siis, kui P.

Piirang tõestamist vajava konditsionaali kasutamisele selle sama konditsionaali tõestamiseks ja Curry paradoks

Piirang tõestamist vajava konditsionaali kasutamisele selle sama konditsionaali tõestamiseks ja Curry paradoks

Karmo Talts
 

Sõnastame järgmise piirangu konditsionaali tõestamisele: kui P-d saab kasutada Q tõestamiseks ilma, et Q tõestamise käigus kasutatakse tõestamist vajavat konditsionaali ennast, siis me same tõestada konditsionaali "kui P, siis Q".
Vaatame nüüd Curry lauset. Kui me paneme väitele "kui C, siis absurdsus" nimeks C, eeldame, et C ja asendame C ekvivalentse konditsionaaliga, siis me saame me tõestamist vajava konditsionaali. Seega kasutab tuletuskäik lubamatut eeldust. 

Konditsionaalide tõestamise ja selle, et konditsionaali eeldus on väär, tõestamise seos

Konditsionaalide tõestamise ja selle, et konditsionaali eeldus on väär, tõestamise seos 
Karmo Talts

Vaatame seda, kas konditsionaali "kui P, siis Q" tõestamiseks on tingimata vaja näidata, et P-d eeldades me saame tõestada Q. Kui me saame tõestada P eituse, siis me saame samuti tõestada, et kui P, siis Q.
Vaatame nüüd nende kahe tõestuse suhet. Kui me oleme tõestanud P eituse, siis on esimene tõestus vähemalt mitte-vajalik, kui mitte absurdne: kui me oleme tõestanud P eituse, siis P-d eeldades eeldame me väidet, mis räägib tõestatud väitele vastu.
Võtame nüüd tugevama hoiaku, et kui me oleme tõestanud P eituse, siis me ei tohi eeldada P-d ja kasutada esimest tõestust. Seega siis,  kui pole nii, et pole nii, et P, siis see, et P eeldamine tõestab Q, tõestab, et kui P, siis Q. 

Mõõtmise mõju mõõtmistulemusele ja ebamäärasus kvantfüüsika ning potentsiaalsete mõõtmistulemuste kohta käivate väidete vorm

Mõõtmise mõju mõõtmistulemusele ja ebamäärasus kvantfüüsikas ning potentsiaalsete mõõtmistulemuste kohta käivate väidete vorm 

Karmo Talts

Vaatame selle, et mõõtmine mõjutab kvantfüüsikas tulemust, tähtsust potentsiaalsete mõõtmisetulemustega seotud väidete sõnastamise jaoks. Need väited tuleb sõnastada konditsionaalidena, mille eeldus räägib mõõtmise toimumisest.

Vaatame nüüd määramatuse tähendusest nende konditsionaalide eelduste sõnastamise jaoks. Need eeldused peavad rääkima ka sellest, mida ei mõõdeta.
Toome näited. Kui mõõdetakse impulssi ja ei määrata asukohta, siis ... Kui määratakse asukoht ja ei mõõdeta impulssi, siis ... Kui määratakse (teatud täpsusega) asukoht ja (teatud täpsusega) mõõdetakse impulssi, siis ..

Konditsionaal, mille tõestamiseks on tarvis tõestada konditsionaali eelduse eituse ja järelduse disjunktsioon, ja Curry paradoks

Konditsionaal, mille tõestamiseks on tarvis tõestada konditsionaali eelduse eituse ja järelduse disjunktsioon, ja Curry paradoks 

Karmo Talts

 

Vaatame konditsionaali "kui P, siis Q" ja ekivalentse disjunktsiooni "pole nii, et P või on nii, et Q" tõestuslikku suhet. Selle konditsionaali tõestamisest piisab selle disjunktsiooni tõestamiseks ja vastupidi, aga neid pole üksteise tõestamiseks tarvis.

Vaatame nüüd kondistonaali, mille tõestamiseks on tarvis tõestada "pole nii, et P või on nii, et Q". Kuna Curry lause tõestamiseks on vaja tõestada, et Curry lause on väär või absurdsus on tõene, siis meil ei ole võimalik eeldusel, et me ei suuda tõestada Curry lause väärust, tõestada Curry lause tõesust.

Tühjade tõdede eristamine mitte-tühjadest tõdedest

Tühjade tõdede eristamine mitte-tühjadest tõdedest

Karmo Talts

 

Vaatame, mida annaks tühjade tõdede eristamine mitte-tühjadest tõdedest. Kui meie eelduste hulk sisaldab eeldust, et konditsionaal "kui P, siis Q" on tühjalt tõene ja eeldust, et P on tõene, siis on meie eelduste hulk vasturääkiv. Kui meie järelduste sisaldab järeldust, et konditsionaal "kui P, siis Q" on tühjalt tõene ja järeldust, et P on tõene, siis on vähemalt üks meie eeldustest väär.

Soriitide paradoks ja konditsionaalide tõestamine

Soriitide paradoks ja konditsionaalide tõestamine 

Karmo Talts

Vaatame eeldust, et kui x-i juuksekarvaga inimene pole kiilas, siis x miinus ühe juuksekarvaga inimene pole kiilas. See on konditsionaal ja konditsionaali tõestatakse näidates, et konditsionaali eeldusest saab tuletada konditsionaali järelduse.
Vaatame nüüd eeldust, et x-i juuksekarvaga inimene pole kiilas. See tõestab midagi ainult nende mittekiilaste inimeste kohta, kellel on x juuksekarva ja midagi nende x-ist erineva juustekarva arvuga inimeste kohta, kes on kiilad. x miinus ühe juukarvaga inimesel ei ole x juuksekarva. Seega järeldub midagi sellest, et x-i juuksekarvaga inimene pole kiilas, x miinus ühe juuksakarvaga inimeste kohta siis, kui x miinus ühe juuksekarvaga inimesed on kiilad. Kui sellest, et inimesel on x miinus üks juuksekarva, ei järeldu, et inimene on kiilas, siis ei tõesta see, et inimesel on x juuksekarva, midagi inimeste kohta, kellel on x miinus üks juuksekarva. Kui sellest, et inimesel on x miinus üks juuksekarva järeldub, et inimene on kiilas, siis ei saa eeldus, et x-i juuksekarvaga inimene pole kiilas, tõestada seda, et x miinus ühe juuksekarvaga inimene pole kiilas.

Materiaalne konditsionaal ja vasturääkivus

Materiaalne konditsionaal ja vasturääkivus 

Karmo Talts

Vaatame materiaalse konditsionaali käitumist vasturääkivuse korral. Konditsionaal "kui P, siis Q" on ekvivalentne disjunktsiooniga "pole nii, et P või on nii, et Q". Vastruääkiva konjunktsiooni "on nii, et P ja pole nii, et P" lihtsustamisel saame me P eituse. P eitusest piisab, et teha disjunktsioon "pole nii, et P või on nii, et Q" ja sellega ekvivalentne konditsionaal tõeseks ilma, et peaks tingimata olema nii, et Q. 
Võtame selle tähtsuse kokku. Materiaalne konditsionaal ütleb, et kui puudub vasturääkivus ja on nii, et P, siis Q.

Piirang konditsionaalide tõestamisele ja Curry paradoks

Piirang konditsionaalide tõestamisele ja Curry paradoks 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise piirangu konditsionaalide tõestamisele: kui atomaarne lause P tõestab, et Q, siis P tõestab konditsionaali "kui P, siis Q" ja kui tõestatud konditsionaal P tõestab, et Q, siis P tõestab, et kui P, siis Q.
Vaatame nüüd Curry lauset C. C on iseenda eeldus ja ühtlasi konditsionaal. Seega selleks, et C ennast tõestaks, peab ta juba olema tõestatud, sest meie piirang lubab konditsionaalil tõestada konditsionaali, mille eelduseks ta on, ainult siis, kui ta ise on tõestatud. 

Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks

Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks 

Karmo Talts

Üldistame loogikaseadused tõeväärtuste x ja y jaoks. Väitel P ei saa korraga olla tõeväärtus x ja mitte olla tõeväärtus x. Väitel P on tõeväärtus x või on väitel P x-ist erinev tõeväärtus.
Vaatame nüüd teoreeme. Kui P-l on tõeväärtus x, siis P eituse eitusel on tõeväärtus x. Kui eeldusest, et P-l on tõeväärtus x, järeldub vasturääkivus, siis P-l pole tõeväärtus x. Kui P-l on tõeväärtus x ja Q-l on tõeväärtus y, siis on P ja Q konjunktsioonil kõige madalam tõeväärtus tõeväärtuste x ja y hulgast. Kui P-l on tõeväärtus x, siis saab sisse tuua disjunktsiooni P-l on tõeväärtus x või on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l pole tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l on tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l pole tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja P-l on tõeväärtus x, siis on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja Q-l pole tõeväärtus y, siis pole P-l tõeväärtus x.

Tühjad tõed ning konditsionaalide ja disjunktsioonide ekvivalentsus

Tühjad tõed ning konditsionaalide ja disjunktsioonide ekvivalentsus 

Karmo Talts

Loome konditsionaali ¬P→Q tõeväärtustabeli, kus sisukas tõesus on märgitud T-ga ja tühi tõesus 0-ga. 
                                P Q  ¬P→Q
                                T T  0
                                T V  0
                                V T  T
                                V V V

Võrdleme nüüd seda P∨Q tõeväärtustabeliga.
                                P Q P∨Q
                                T T  T
                                T V  T
                                V T  T
                                V V V
Võtame nüüd oma uurimuse tulemused kokku. ¬P→Q on mõnede P ja Q tõeväärtuste korral tühjalt tõene ja P∨Q pole mitte ühegi P ja Q tõeväärtuse korral tühjalt tõene. Seega on ¬P→Q ja P∨Q loogiliselt ekvivalentsed ainult siis, kui me ei tee vahet tühjadel ja sisukatel tõdedel.

Eeldus, mis on konditsionaali, mille järeldus on disjunktsioon, kujul, juustekarvade arvu kohta ja soriidid

Eeldus, mis on konditsionaali, mille järeldus on disjunktsioon, kujul, juustekarvade arvu kohta ja soriidid

Karmo Talts

Vaatame eeldust, et kui x-i juuksekarvaga inimene on kiilas, siis on x pluss ühe juuksekarvaga inimene kiilas või on x pluss ühe juuksekarvaga inimesel juukseid veidi rohkem, kui kiilal inimesel. See eeldus näib täiesti tervemõistuslik ja ei sunni meile peale järeldust, et kuitahes suure juuste arvuga inimene on kiilas.