Selle, et vasturääkivusest järeldub vähemalt üks väär järeldus, tõestus

Selle, et vasturääkivusest järeldub vähemalt üks väär järeldus, tõestus 

Karmo Talts

Tõestame vasturääkivuse seaduse kujul „eeldusest, et väide on korraga tõene ja väär, järeldub vähemalt üks väär järeldus”. Kui me eeldame, et väide P on korraga tõene ja väär, siis me saame konjunktsiooni ellimineerimisel järeldada, nii selle, et P on tõene, kui ka selle, et P on väär. Kui P on väär, siis me saame P-st tuletada mingi väära järeldus. Kasutame nüüd modus ponensit.  Me saame P-st tuletada mingi väära järelduse. Kasutame nüüd modus ponensit uuesti ja tuletame väära järelduse. Kasutame nüüd transitiivsust. Eeldusest, et P on korraga tõene ja väär, järeldub väär järeldus

Tühjade ja mitte-tühjade tõdede erinev käsitlemine

Tühjade ja mitte-tühjade tõdede erinev käsitlemine 

Karmo Talts

Vaatame argumente selle kasuks, et tühjalt tõeseid väiteid peaks käsitlema teisiti, kui mitte-tühjalt tõeseid väiteid. Ilma tõdede erinevust arvesse võtmata on kaks konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuhtu omavahel kooskõlas. Kui me võtame seda erinevust arvesse, siis on räägivad tühjalt tõene konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuht ja mitte-tühjalt tõene konditsionaali "kui P, siis Q" esinemisjuht üksteisele vastu.
Vaatame nüüd modus ponensit. Kui konditsionaal "kui P, siis Q" on mitte-tühjalt tõene ja P, siis Q.  Kui konditsionaal "kui P, siis Q" on tühjalt tõene ja P, siis on tegemist vasturääkivusega.
Vaatame nüüd vasturääkivusest tulenevaid järeldusi. Vasturääkiva konjunktsiooni elimineerimisel saame me P ja P eituse.  Esimesest neist järeldub, et konditsionaal "kui P, siis P või Q" on mitte-tühjalt tõene ja teisest, et konditsionaal "kui P, siis P või Q" on tühjalt tõene. P eitus räägib esimesele konditsionaali esinemisjuhule vastu ja P räägib teisele konditsionaali esinemisjuhule vastu.
Vaatame nüüd koondamist. Kaks väite P esinemisjuhtu on samaväärsed siis, kui nende tõesus on ühte liiki. Kui P üks esinemisjuht on tühjalt tõene ja teine P esinemisjuht on mitte-tühjalt tõene, siis on tegu vasturääkivate P esinemisjuhtudega. 

Põhjuste ning piisavate ja tarvilike tingimuste seosed

Põhjuste ning piisavate ja tarvilike tingimuste seosed 

Karmo Talts 

 

Vaatame põhjuste ning piisavate ja tarvilike tigimuste seoseid. Kui P põhjustab Q ja siis, kui Q, siis R, siis selle järel, kui P, R. Kui Q, siis R ja kui selle järel, et P, pole nii, et R, siis P ei põhjustanud Q-d. 

Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks

Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks 

Karmo Talts

Üldistame loogikaseadused tõeväärtuste x ja y jaoks. Väitel P ei saa korraga olla tõeväärtus x ja mitte olla tõeväärtus x. Väitel P on tõeväärtus x või on väitel P x-ist erinev tõeväärtus.
Vaatame nüüd teoreeme. Kui P-l on tõeväärtus x, siis P eituse eitusel on tõeväärtus x. Kui eeldusest, et P-l on tõeväärtus x, järeldub vasturääkivus, siis P-l pole tõeväärtus x. Kui P-l on tõeväärtus x ja Q-l on tõeväärtus y, siis on P ja Q konjunktsioonil kõige madalam tõeväärtus tõeväärtuste x ja y hulgast. Kui P-l on tõeväärtus x, siis saab sisse tuua disjunktsiooni P-l on tõeväärtus x või on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l pole tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l on tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l pole tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja P-l on tõeväärtus x, siis on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja Q-l pole tõeväärtus y, siis pole P-l tõeväärtus x.