Loogikaseaduste ja teoreemide sisuline tähendus ning Gödeli lause

Loogikaseaduste ja teoreemide sisuline tähendus ning Gödeli lause 

Karmo Talts

 

Vaatame, mida loogikaseadused ja teoreemid sisuliselt ütlevad. Vasturääkivuse seadus ütleb, et kui P on väide, siis P pole korraga tõene ja väär. Välistatud kolmanda seadus ütleb, et kui P on väide, siis P on tõene või väär. Jne.

Vaatame nüüd Gödeli mittetäielikkuse teoreemi. Gödeli lause on loogikavalem, mitte sisuline väide. Seega juhul, kui on võimalik sõnastada sisuline väide, millel on Gödeli lause vorm, on selle väite puhul tegu tõestamatu väitega.

Sisu ja vormi suhted loogikas ning valetaja paradoks ja Gödeli lause

Sisu ja vormi suhted loogikas ning valeaja paradoks ja Gödeli lause 

Karmo Talts

 

Vaatame välistatud kolmanda seaduse vormi ja väidete sisu suhteid. Kui me asendame deklaratiivse lause lausemuutujaga P, siis on P tõene või väär. Kui me asendame deklaratiivse laused lausemuutjatega P, Q, jne. ja kasutame neid loogikatehte osavalemitena, siis on see loogikatehe tõene või väär. Kui me asendame sel viisil saad loogikatehted lausemuutujatega ja kasutame neid loogikatehte osavalemitena, siis on loogikatehe tõene või väär. Kui me asendame sel viisil saadud loogikatehted lausemuutujatega ja kasutame neid koos lausemuutujatega, mis asendavad deklaratiivseid lauseid, loogikatehte osavalemitena, siis on loogikatehe tõene või väär. Jne.

Vaatame nüüd valetajalauset. X-i definitsioon „X on väär” on formaalne definitsioon. Deklaratiivse lause või loogikatehte, millel on tõeväärtus, asendamine X-iga eirab seda, et see deklaratiivne lause või see loogikatehe ei ole defineeritud eneseleviitamise abil.

Vaatame nüüd Gödeli lauset. Deklaratiivse väite /või loogikatehete, millel on tõeväärtus, asendamine Gödeli lausega eirab seda, et deklaratiivne lause või see loogikatehe ei ole eneseleviitav.

Intuitsioonide usaldusväärsus ja mittetäielikkuse teoreem

Intuitsioonide usaldusväärsus ja mittetäielikkuse teoreem 

Karmo Talts

Vaatame eeldust, et intuitsioonidel on usaldusväärne sisu. See ei tähenda tingimata seda, et intuitsioonidel on kooskõlaline vorm.
Vaatame nüüd eeldust, et intuitsioonidel on usaldusväärne sisu, aga mitte kõigil intuitsioonidel pole kooskõlaline vorm. Mitteformaalne tõestus, mille tulemusi pole võimalik formaalsete vahenditega tõetada, ei pruugi põhineda kooskõlalise vormiga intuitsioonidel ja olla usaldusväärne.
Vaatame nüüd selle tähendust mittetäielikkuse teoreemi jaoks. Mittetäielikkuse teoreemi varjatud filosoofilised eeldused on, et intuitsioonid on usaldusväärsed ja seda mitte ainult sisult, vaid ka vormilt.

Võimsa formaalse süsteemi väidete alamhulk, mis sisaldab ainult Gödeli lauset, ja selle süsteemi väidete teised alamhulgad

Võimsa formaalse süsteemi väidete alamhulk, mis sisaldab ainult Gödeli lauset, ja selle süsteemi väidete teised alamhulgad 

Karmo Talts

Vaatame formaalseid süsteeme, mis on piisavalt võimsad aritmeetika kodeerimiseks. Sellise süsteemi väidete hulgal on alamhulk, mille ainus element on väide "see väide pole formaalsete vahenditega tõestatav". Selle hulga elementideks olevad väited pole formaalsete vahenditega tõestatavad või selle hulga elementideks olevad väited on vasturääkivad.
Vaatame nüüd selle tähendust. Mittetäielikkuse teoreem ei tõesta, et formaalse süsteemi, mis on piisavalt võimas aritmeetika kodeerimiseks, väidete hulga vähemalt üks alamhulk, mis pole ülal mainitud hulk, sisaldab vähemalt ühte väidet, mis pole kas tõestatav või on vasturääkiv.
  

Hüpotees, et enamik matemaatika kodeerimiseks piisavalt võimaste formaalsete süsteemide teoreeme on tõestatavad

Hüpotees, et enamik matemaatika kodeerimiseks piisavalt võimaste formaalsete süsteemide teoreeme on tõestatavad 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise hüpoteesi: kui formaalne süsteem on piisavalt võimas, et kodeerida aritmeetika, siis on kõik selle formaalse süsteemi teoreemid peale teoreemi "see teoreem pole tõestatav" tõestatavad.
Vaatame nüüd selle, kui see hüpotees kehtib, tähendust. Kui aritmeetika kodeerimiseks pole vaja kasutada teoreemi "see  teoreem pole tõestatav", siis pole oluline see, kas formaalne süsteem on kooskõlaline, oluline on ainult see, et formaalse süsteemi fragment, mis ei sisalda seda teoreemi, on kooskõlaline.

Gödeli lause ja teoreemide, mis käivad väidete tõestatavuse kohta, hulk

Gödeli lause ja teoreemide, mis käivad väidete tõestatavuse kohta, hulk

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust, et Gödeli lause on teoreem ühe väite tõestatavuse kohta. Kui loogika on piisavalt võimas, et kodeerida Robinsoni aritmeetika, siis selle loogika teoreemide alamhulk, mis käib väidete tõestatavuse kohta, pole kooskkõlaline või ei saa kõiki sellesse alamhulka kuuluvaid teoreeme tõestada.

Eeldame nüüd, et teoreemide, mis käivad väidete tõestatavuse kohta, hulk on sellise loogika teoreemide ainus alamhulk, millesse kuuluvad teoreemid pole kooskõlalised või millesse kuuluvaid teoreeme ei saa tõestada. Sel juhul tuleb uurida nii loogikaid, millel on väljendusjõud on võimalikult lähedane Robinsoni artimeetikate kodeerimiseks võimelistele loogikatele, milles ei ole võimalik sõnastada teoreeme väidete tõestatavuse kohta, kui ka vaadata, millised on mitteklassikalised võimalused käia ümber teoreemidega, mis käivad väidete tõestatavuse kohta.

Gödeli mittetäielikkuse teoreem ja hägusloogika

Gödeli mittetäielikkuse teoreem ja hägusloogika 

Karmo Talts 

 

Vaatame Gödeli mittetäielikkuse teoreemi hägusloogika seisukohast. Mida kõrgem on väite "see väide pole tõestatav" tõeväärtus, seda madalam on selle väite tõeväärtus ja mida madalam on selle väite tõeväärtus, seda kõrgem on selle väite tõeväärtus. Seega on ainus stabiilne tõeväärtus, mis saab sellele väitele anda, 0,5.

Hägustame nüüd selle tõeväärtuse. On ebamäärane, kas väide "see väide pole tõestatav" on tõestatav või mitte ja pole üsna või rohkem kui üsna selge, kuidas asjad selle väite tõestatavusega just on.

Vaatame nüüd selle tähendust loogikate jaoks. Iga loogika, mis on piisavalt väljendusjõuline, et kodeerida Robinsoni aritmeetika, on kas vasturääkiv või pole kõigi selle loogika teoreemide puhul selge, kas need kehtivad.

Valetajalause diogonaliseeritud kuju ja vasturääkivuse ekvivalentsus

Valetajalause diogonaliseeritud kuju ja vasturääkivuse ekvivalentsus 

Karmo Talts

 

Vaatame vasturääkivusest järelduvaid konditsionaale. P∧¬P järeldub nii P→¬P, kui ka ¬P→P. St., järeldub, et P on ekvivalentne ¬P-ga.

Asendame nüüd ¬P ekvivalentse väitega P on väär. Me saame P on ekvivalentne P on väär-aga. St., valetajalause diagonaliseeritud kuju.

Vaatame nüüd valetajalauset. P on ekvivalentne P on väär-ast järeldub välistatud kolmanda seadusega loogikas P∧¬P. St., et vasturääkivuse seaduse ja välistatud kolmanda seadusega loogikas on vasturääkivus ja P on ekvivalentne P on vääraga ekvivalentsed.

Vaatame nüüd selle tähendust diagonaliseerimise jaoks. Kui me saame kodeerida konjunktsiooni P∧¬P, siis me saame kodeerida ka väite P on ekvivalentne P on vääraga. Väite P on ekvivalentne P on vääraga kodeerimine on selle, et leidub P, mille puhul P on ekvivalentne P on vääraga, tõestamise tarvilik tingimus. Seega on diagonaliseerimise paradokside üks lahendus numeratsioon, mis ei võimalda kodeerida vasturääkivust ja sellega ekvivalentseid väiteid.

Järelduse Gödeli numbri sõltuvus eeldustest ja see, et vasturääkivusest tuleneb suvaline järeldus

Järelduse Gödeli numbri sõltuvus eeldustest ja see, et vasturääkivusest tuleneb suvaline järeldus

Karmo Talts 

Vaatame vasturääkuvusest tulenevaid järeldusi. Vasturääkivusest tuleneb suvaline järeldus.

Vaatame nüüd vasturääkivuse ja väidete Gödeli numbrite kohta käivate väidete seost. Vasträäkivusest järeldub, et suvalisel väitel on suvaline Gödeli number.

Vaatame nüüd selle tähendust arusaama jaoks, et kui eeldustest järeldub, et konkreetsel väitel on mingi Gödeli number, siis sõltub järelduse Gödeli number eelduste Gödeli numbrist. See tähendab, et suvaline Gödeli number sõltub vasturääkivuse Gödeli numbrist.

Vaatame nüüd, kas see on nii. Erinevad Gödeli numbrid pole üks ja sama Gödeli number. Seega viib arusaam, et kui eeldustest järeldub, et konkreetsel väitel on mingi Gödeli number, siis sõltub järelduse Gödeli number eelduste Gödeli numbrist, juhul, kui eeldusteks on vasturääkivus ja järelduseks väide, et suvalisel väitel on suvaline Gödeli number, absurdini. 

Sõnastame nüüd piirangu väidetele viitamise meetoditele. Väidetele tohib viidata vaid meetodite abil, mis ei luba seostada suvalisele väitele viitamise vahendit vasturääkivusele viitamise vahendiga.