Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Loogika, mis kasutab kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste väidete ning predikaatide tähistamiseks erinevaid muutujaid

Karmo Talts

 

Vaatame võimalusi loogika, mis teeb vahet kooskõlalistel ja mitte-kooskõlalistel väidetel, loomiseks. Üks võimalus sellise loogika loomiseks on kasutada kooskõlaliste ja mittekooskõlaliste väidete jaoks eraldi muutujaid.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlalisi väiteid. Mitte-kooskõlalist väidet ei saa asendada kooskõlalise väite muutujaga ja mitte-kooskõlalise väite puhul ei saa kasutada päris kõiki kooskõlalistele väidetele rakenduvaid teoreeme.

Vaatame nüüd mitte-kooskõlaliste väidetele rakenduvaid teoreeme. Kuna vasturääkivuse seadus rakendub ainult kooskõlalistele väidetele ja eituse sissetoomine tuleneb vasturääkivuse seadusest, siis mitte kooskõlaliste väidetest ei saa eitust sisse tuua. Seega rakenduvad mitte-kooskõlalistele väidetele ainult klassikalise loogika positiivsed tehted.

Üldistame nüüd selle idee kõigile predikaatidele. Kooskõlaliste ja mitte-kooskõlaliste predikaatide tähistamiseks tuleb kasutada erinevaid muutujaid. Väidete sõnastamisel saab mitte-kooskõlalistele predikaatidele rakendada ainult positiivseid tehteid.

Väide „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus y-ist terast saab moodustada kuhja” ja soriitide paradoks

Väide „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus y-ist terast saab moodustada kuhja” ja soriitide paradoks

Karmo Talts

 

Vaatame, millised x-i ja y-i väärtused rahuldavad järgmist väidet „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus y-ist terast saab moodustada kuhja”. See on sattumuslik, sest see sõltub x-i ja y-i suurusest.

Vaatame nüüd selle tähendust väite „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus ühest terast saab moodustada kuhja”. See on samuti sattumuslik, sest kuigi väike erinevus terade arvus mõjutab vähem meie võimalust neist kuhja moodustada, kui suurem erinevus, ei kehti väide „kui x-ist terast saab moodustada kuhja, siis x miinus ühest terast saab moodustada kuhja” x-i väikeste väärtuste korral.

Maskis mehe mõistatus ning muutujate ja konstantide eristus

Maskis mehe mõistatus ning muutujate ja konstantide eristus

Karmo Talts

 

Vaatame maskis mehe mõistatust predikaatarvutuse konstantide ja muutujate eristuste seisukohast. Meil on uskumus, et leidub vähemalt üks x, kelle nimi on Bob ja uskumus, et leidub vähemalt üks y, kes on maskis mees. Meil on ühtlasi uskumus, et b nimi on Bob.

Vaatame nüüd maskis mehe, kui konkreetse objektiga seotud uskumusi lähemalt. Kuna me usume, et üks kahest on tõene, kas Bob on maskis mees või keegi teine on maskis mees, siis me usume, et b on maskis mees või m on maskis mees.

Vaatame nüüd olukorda, kus selgub, et Bob on maskis mees. Esiteks selgub see, et x on y. Teiseks selgub, et m pole maskis mees, sest hoopis b on maskis mees ja mingit m-i polegi.

Eeldus, et valetajalause eeldab iseenda eksistentsi ja muutujate asendamine

Eeldus, et valetajalause eeldab iseenda eksistentsi ja muutujate asendamine 

Karmo Talts

Vaatame valetajalauset lähtudes eeldusest, et valetajalause eeldab iseenda eksistentsi. Valetajaluse eeldab, et leidub täpselt üks väär väide, mis on ta ise.
Vaatame nüüd selle tähendust muutujate asendamise jaoks. Valetajalause peab endale viitamiseks kasutama muutujat, mida tal on ühtlasi vaja selle väljendamiseks, et teda on täpselt üks. Seega peab valetajalause kasutama endale viitamiseks iseendas esinevat sidumata muutujat. See on lubamatu ja seega ei saa valetajalause endale viidata.

See, et muutujat ei saa kasutada iseenda eituse tähistamiseks, disjunktsiooni sissetoomine ja vasturääkivusest tulenevad järeldused

See, et muutujat ei saa kasutada iseenda eituse tähistamiseks, disjunktsiooni sissetoomine ja vasturääkivusest tulenevad järeldused

Karmo Talts

 

Vaatame, kas juhul, kui me ei sea mingeid piiranguid muutuja Q kasutamisele, on loogikas sellele varjatud piirangud. Väide ja väite eitus välistavad teineteist. Seega ei saa Q-d kasutada Q eituse tähistamiseks.

Vaatame nüüd selle tähendust disjunktsiooni sissetoomise klassikalise kuju jaoks. "Kui P, siis P või Q" ei näe ette võimalust, et Q asendatakse Q eitusega.

Vaatame nüüd disjunktsiooni P või pole nii, et Q. Selle disjunktsiooni saab samuti sisse tuua P-st, seega ammendav disjunktsiooni sissetoomine on kujul "kui P, siis P või Q või pole nii, et Q".

Vaatame nüüd selle tähendust vasturääkivusest tulenevate järelduste jaoks. Konjunktsioonist "P ja pole nii, et P" järeldub nii P, kui ka P eitus. P-st järeldub, et P või Q või pole nii, et Q. Disjunktiivset süllogismi kasutades saame me järeldada, et Q või pole nii, et Q. Seega järeldub vasturääkivusest, et suvaline väide on tõene või väär. 

Muutujad ja sama objekti kohta käivad erinevad sõnad ja väljendid

Muutujad ja sama objekti kohta käivad erinevad sõnad ja väljendid

Karmo Talts 

 

Vaatame selle tähendust, et me saame eksida selles suhtes, et objekti kaks erinevat nime käivad ühe ja sama objekti kohta. Kui me saame eksida selles suhtes, et x-il predikaadiga Ehatäht on ühtlasi predikaat Koidutäht, ja samas uskuda, et y-il  on predikaat Ehatäht, siis on x ja y erinevad muutujad.

Vaatame nüüd selle tähendust identiteedi jaoks. Kuigi maailmas on Ehatäht ja Koidutäht sama objekt, siis x ja y ei ole tegelikult identsed muutujad, vaid kõigest samas objekti (erinevast aspektist) tähistavad muutujad. Ma tähistan selle objekti z-iga. Väide, et x ja y tähistavad mõlemad z-i, on täpsem väide, kui väide, et x ja y on identsed muutujad.

Vaatame nüüd maksis mehe mõistatust. Muutuja x, millele me omistame predikaadi Maskis mees ja muutuja y, millele me omistame predikadi Bobi-nimeline, on erinevad muutujad. Kui me ütleme, et me ei tea, kes on maskis mees, siis me ütleme, et me ei tea, millised muutujad, millel on predikaat mingi nimeline, tähistavad sama objekti, mida tähistab x. Kui me ütleme, et me teame, kes on Bob, siis me ütleme, et me teame, et y tähistab sama objekti, mida tähistab y.