Loogikaseaduste ja teoreemide sisuline tähendus ning Gödeli lause

Loogikaseaduste ja teoreemide sisuline tähendus ning Gödeli lause 

Karmo Talts

 

Vaatame, mida loogikaseadused ja teoreemid sisuliselt ütlevad. Vasturääkivuse seadus ütleb, et kui P on väide, siis P pole korraga tõene ja väär. Välistatud kolmanda seadus ütleb, et kui P on väide, siis P on tõene või väär. Jne.

Vaatame nüüd Gödeli mittetäielikkuse teoreemi. Gödeli lause on loogikavalem, mitte sisuline väide. Seega juhul, kui on võimalik sõnastada sisuline väide, millel on Gödeli lause vorm, on selle väite puhul tegu tõestamatu väitega.

Loogika, kus vasturääkivuse seadus on kujul "väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär

Loogika, kus vasturääkivuse seadus on kujul "väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär"

Karmo Talts

 

Vaatame loogikat, kus vasturääkivuse seadus on kujul "väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär, muidu tekib vasturääkivus". Kuna vasturääkivus tekib alles siis, kui väide on korraga väär ja pole väär, siis eitus tuuakse sisse eeldusest, millest järeldub vähemalt ühte eitust kasutava väite ja selle väite eitus konjunktsioon.

Vaatame nüüd kahekordse eituse sissetoomist. Kuna väide ei saa olla korraga väär ja mitte olla väär, siis tuuakse kahekordne eitus sisse väidetest, mis kasutavad vähemalt ühte eitust.

Vaatame nüüd disjunktiivset süllogismi. Kuna väide ei saa korraga olla väär ja mitte olla väär, siis saab disjunktiivset süllogismi kasutada siis, kui on tõene disjunktsioon, mille üks osaväide kasutab vähemalt ühte eitust ja on tõene selle osaväite eitus. 

Hüpotees, et enamik matemaatika kodeerimiseks piisavalt võimaste formaalsete süsteemide teoreeme on tõestatavad

Hüpotees, et enamik matemaatika kodeerimiseks piisavalt võimaste formaalsete süsteemide teoreeme on tõestatavad 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise hüpoteesi: kui formaalne süsteem on piisavalt võimas, et kodeerida aritmeetika, siis on kõik selle formaalse süsteemi teoreemid peale teoreemi "see teoreem pole tõestatav" tõestatavad.
Vaatame nüüd selle, kui see hüpotees kehtib, tähendust. Kui aritmeetika kodeerimiseks pole vaja kasutada teoreemi "see  teoreem pole tõestatav", siis pole oluline see, kas formaalne süsteem on kooskõlaline, oluline on ainult see, et formaalse süsteemi fragment, mis ei sisalda seda teoreemi, on kooskõlaline.

Gödeli lause ja teoreemide, mis käivad väidete tõestatavuse kohta, hulk

Gödeli lause ja teoreemide, mis käivad väidete tõestatavuse kohta, hulk

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust, et Gödeli lause on teoreem ühe väite tõestatavuse kohta. Kui loogika on piisavalt võimas, et kodeerida Robinsoni aritmeetika, siis selle loogika teoreemide alamhulk, mis käib väidete tõestatavuse kohta, pole kooskkõlaline või ei saa kõiki sellesse alamhulka kuuluvaid teoreeme tõestada.

Eeldame nüüd, et teoreemide, mis käivad väidete tõestatavuse kohta, hulk on sellise loogika teoreemide ainus alamhulk, millesse kuuluvad teoreemid pole kooskõlalised või millesse kuuluvaid teoreeme ei saa tõestada. Sel juhul tuleb uurida nii loogikaid, millel on väljendusjõud on võimalikult lähedane Robinsoni artimeetikate kodeerimiseks võimelistele loogikatele, milles ei ole võimalik sõnastada teoreeme väidete tõestatavuse kohta, kui ka vaadata, millised on mitteklassikalised võimalused käia ümber teoreemidega, mis käivad väidete tõestatavuse kohta.

Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks

Klassikalise loogika seaduste ja teoreemide üldistus tõeväärtuste x ja y jaoks 

Karmo Talts

Üldistame loogikaseadused tõeväärtuste x ja y jaoks. Väitel P ei saa korraga olla tõeväärtus x ja mitte olla tõeväärtus x. Väitel P on tõeväärtus x või on väitel P x-ist erinev tõeväärtus.
Vaatame nüüd teoreeme. Kui P-l on tõeväärtus x, siis P eituse eitusel on tõeväärtus x. Kui eeldusest, et P-l on tõeväärtus x, järeldub vasturääkivus, siis P-l pole tõeväärtus x. Kui P-l on tõeväärtus x ja Q-l on tõeväärtus y, siis on P ja Q konjunktsioonil kõige madalam tõeväärtus tõeväärtuste x ja y hulgast. Kui P-l on tõeväärtus x, siis saab sisse tuua disjunktsiooni P-l on tõeväärtus x või on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l pole tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui P-l on tõeväärtus x või Q-l on tõeväärtus y, siis juhul, kui P-l pole tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja P-l on tõeväärtus x, siis on Q-l tõeväärtus y. Kui siis, kui P-l on tõeväärtus x, on Q-l tõeväärtus y ja Q-l pole tõeväärtus y, siis pole P-l tõeväärtus x.

Loogika, ülesanne teha kvaliteetseid järeldusi ja väärad eeldused

Loogika, ülesanne teha kvaliteetseid järeldusi ja väärad eeldused 

Karmo Talts

Vaatame loogika teoreeme ülesannete lahendamise seisukohast. Loogika teoreemid on algoritmid, mida saab kasutada tõestest eeldustest tõeste järelduste tegemiseks.
Vaatame nüüd, kas vääradele eeldustele saab sama moodi läheneda. Võib püstitada ülesande tuletada tõeseid järeldusi vääradest eeldustest. Tõenäoliselt ei ole seda ülesannet võimalik lahendada.
Vaatame nüüd vähem ambitsionikaid väärade eeldustega seotud ülesandeid. Vääradest eeldustest võib püüda tuletada tõenäoliselt tõeseid ja võimalikult tõeseid järeldusi.
Vaatame nüüd neid võimalusi lähemalt. Isegi siis, kui väärast eeldusest tulenev järeldus ei räägi ühelegi teada olevalt tõesele eeldusele vastu, siis on see järeldus on võimalikult tõene või tõenäoliselt tõene vaid meile teada oleva informatsiooni valguses.

Joseph Fraser Thomson'i teoreem ja valetaja paradoks

Joseph Fraser Thomson'i teoreem ja valetaja paradoks 

Karmo Talts 

 

Rakendame Joseph Fraser Thomson'i teoreemi väidetele, mis väidavad kõigi väidete, mis väidavad enda väärust, tõesust. Ei leidu x-i, mis väidab iga y-i, mis väidab enda väärust, tõesust.

Eeldame nüüd, et x ja y on identsed. Ei leidu väidet, mis väidab iga iseenda väärust, tõesust.

Vaatame nüüd valetajalauset. Kui oleks olemas valetajalause väljendatav propositsioon, siis see väidaks iga iseenda, mis väidab enda väärust, tõesust. Seega pole olemas propositsiooni, mida valetajalause väljendaks.

Tõe vastavusteooria ja loogika

Tõe vastavusteooria ja loogika

Karmo Talts

 

Sõnastame loogikaseadused, lähtudes sellest, et tõesus on suhe tegelikkuse ja väite vahel.

Väide ei saa korraga vastata ja mitte vastata tegelikkusele. Väide vastab tegelikkusele või ei vasta tegelikkusele. 

Vaatame nüüd teoreeme. Tautoloogiaseadus ütleb, et kui väide vastab tegelikkusele, siis väide vastab tegelikkusele. Kahekordse eituse sissetoomine ütleb, et kui väide vastab tegelikkusele, siis pole nii, et väide ei vasta tegelikkusele. Eituse sissetoomine ütleb, et kui väitest järeldub, et mõni väide korraga vastab ja ei vasta tegelikkusele, siis väide ei vasta tegelikkusele. Konjunktsiooni sissetoomine ütleb, et kui esimene väide vastab tegelikkusele ja teine väide vastab tegelikkusele, siis vastab nende konjunktsioon tegelikkusele. 

Disjunktsiooni sissetoomine ütleb, et kui väide vastab tegelikkusele, siis vastab see väide tegelikkusele või vastab teine väide tegelikkusele. Konditsionaal ütleb, et eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele. Modus ponens ütleb, et kui eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele ja eeldus vastab tegelikkusele, siis järeldus vastab tegelikkusele. Modus tollens ütleb, et kui eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele ja järeldus ei vasta tegelikkusele, siis eeldus ei vasta tegelikkusele.

Kontrapositsiooni tuletamine ütleb, et kui eeldus ei vasta tegelikkusele või järeldus vastab tegelikkusele, siis järeldus ei vasta tegelikkusele või eeldus vastab tegelikkusele.  Disjunktiivne süllogism ütleb, et kui esimene väide vastab tegelikkusele või teine väide vastab tegelikkusele ja esimene väide ei vasta tegelikkusele, siis vastab teine väide tegelikkusele. Vasturääkivuse plahvatavus ütleb, et pole nii, et väide vastab korraga tegelikkusele ja ei vasta tegelikkusele või vastab teine väide tegelikkusele.  

Selle, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivuse eitus, tõestus, ja andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemine

Selle, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivuse eitus, tõestus, ja andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemine

Karmo Talts

 

Vaatame, kas loogikas, mis ei luba vasturääkivusi, on võimalik tõestada, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivuse eitus. Tautoloogiseaduse järgi järeldub vasturääkivusest vasturääkivus. Eituse sissetoomise järgi järeldub sellest, et vasturääkivusest järeldub vasturääkivus, vasturääkivuse eitus.

Vaatame nüüd ühte teist võimalust selle tõestamiseks. Vasturääkivuse seadusest saab disjunktsiooni sissetoomist kasutades järelduda vasturääkivuse eituse ja vasturääkivuse eituse disjunktsiooni. Disjunktsioonist "väide pole vasturääkiv või väide pole vasturääkiv" saab ekvivalentuse põhjal järeldada konditsionaali "kui väide on vasturääkiv, siis väide pole vasturääkiv".

Vaatame nüüd kolmandat võimalust selle tõestamiseks. Vasturääkivuse seadusest saab ühte materiaalse konditsionaali paradoksidest kasutades järeldada, et kui väide on vasturääkiv, siis väide pole vasturääkiv. 

Vaatame nüüd, kas seda teoreemi saab kasutada andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemiseks. Koondamisega loogikas saame me see järel, kui me oleme vastusrääkivust kasutanud vasturääkivuse eituse järeldamiseks, vasturääkivust uuesti kasutada, et teha mõni teine järeldus. Seega peab loogika, mis kasutab andmetes oleva vasturääkivusega toime tulemiseks teoreemi "kui väide on vasturääkiv, siis väide pole vasturääkiv", olema ilma koondamiseta loogika. 

 

Disjunktsiooni kujul kirja pandud teoreemid ja vasturääkivusest tulenevad järeldused

Disjunktsiooni kujul kirja pandud teoreemid ja vasturääkivusest tulenevad järeldused

Karmo Talts

 

Vaatame selle tähendust teoreemide jaoks, et konditsionaalid on ekvivalentsed disjunktsioonidega. Teoreeme ei pea tingimata kirja panema konditsionaalidena, vaid võib kirja panna ka disjunktsioonidena. 

Vaatame nüüd lähemalt võimalust panna teoreemid kirja disjunktsiooni kujul. Tautoloogiaseaduse saab kirja panna nii: ¬P∨P, kahekordse eituse sissetoomise nii: ¬P∨¬¬P jne.

Vaatame nüüd disjunktsioonide tõeväärtust. Selleks, et disjunktsioon oleks tõene, piisab ühe osaväite tõesusest.

Vaatame nüüd selle tähtsust teoreemide rakendamise jaoks. Selleks, ¬P∨P, oleks tõene, pole tarvis, et P oleks tõene, piisab sellest, et ¬P oleks tõene, selleks, et ¬P∨¬¬P oleks tõene pole tarvis, et ¬¬P oleks tõene, piisab sellest, et ¬P oleks tõene jne. St., selleks, et tuletuskäik oleks tõene, pole tarvis, et tuletuskäigu järeldused oleks tõesed, selleks, et tuletuskäik oleks tühjalt tõene, piisab sellest, kui meie eeldused on väärad. 

Vaatame nüüd vasturääkivust. Vasturääkivusest P∧¬P saab konjunktsiooni ellimineerimisel ja lihtsustamisel järeldada ¬P. Kuna vasturääkivusest järeldub, et meie eeldus on väär, siis vasturääkivuse korral on tuletuskäigud tühjalt tõesed.

Võtame selle kokku. Vasturääkivusest ei järeldu midagi, sest vasturääkivuse korral on tuletuskäigud tühjalt tõesed.