Predikaadid, avatud hulgad ja suletud hulgad

Predikaadid, avatud hulgad ja suletud hulgad 

Karmo Talts

Sõnastame järgmise hulkade moodustamise põhimõtte: iga predikaadi P puhul saab moodustada suletud hulga, kuhu kuuluvad kõik elemendid predikaadiga P või saab moodustada avatud hulga nii, et iga elemendi puhul predikaadiga P kuulub see element sellesse avatud hulka või kuulub see element selle avatud hulga piirhulka.
Vaatame nüüd hulkasid, mis ei kuulu endasse. Neist ei saa moodustada suletud hulka, sest siis see peaks kuuluma endasse, kui see ei kuulu endasse ja vastupidi.
Vaatame nüüd avatud hulka. Avatud hulk, kus on mingi osa neist hulkadest, mis endasse ei kuulu, ei kuulu endasse siis, kui ta kuulub enda piirhulka ja ta kuulub endasse siis, kui ta endasse ei kuulu. Seega ta kuulub enda piirhulka. Selle avatud hulga piirhulk ei kuulu endasse siis, kui ta kuulub hulka, mille piirhulgaks ta on ja ta kuulub endasse, kui ta ei kuulu endasse. Seega see piirhulk kuulub hulka, mille piirhulgaks ta on.