Loogika formaalsus ja Gödeli mittetäielikkuse teoreemi tõestuse matemaatiline sisu

Loogika formaalsus ja Gödeli mittetäielikkuse teoreemi tõestuse matemaatiline sisu 

Karmo Talts

 

Vaatame selle, et loogika on formaalne, tähendust Gödeli mittetäielikkuse teoreemi tõestuse ja matemaatika suhete jaoks. Gödeli mitteäielikkuse teoreemi tõestus on matemaatikat puuduvatest eeldustest matemaatika kohta järelduste tegemine ainult siis, kui sellele on võimalik anda matemaatiline sisu.

Vaatame nüüd sellele tuletuskäigule sisu andmist. Kui leiduks matemaatikast rääkiv deklaratiivne lause, millega saab asendada formaalse lause, millel süsteemi sees pole tõestust, siis oleks tuletuskäigul sisu. Kui leiduks lausemuutujaid, mis tähistavad deklaratiivseid matemaatikast rääkivaid lauseid, kasutavaid loogikateheteid, mida saab asendada Gödeli formaalse lausega, siis oleks tuletuskäigul sisu. Kui leiduks lausemuutujaid, mis tähistavad lausemuutujaid, mis tähistavad deklaratiivseid lauseid, mis räägivad matemaatikast, kasutavaid loogikateheteid, mida saab asendada formaalse Gödeli lausega, siis oleks tuletuskäigul sisu. Jne.

Vaatame nüüd võimalust, et ükski neist tingimustest ei ole täidetud. Sel juhul Gödeli mittetäielikkuse teoreem ei tõesta, et leidub matemaatikast rääkivaid väiteid, mida ei saa loogika abil tõestada.