Võimalus rääkida predikaatidest esimese järgu loogika keeles

Võimalus rääkida predikaatidest esimese järgu loogika keeles

Karmo Talts

 

Vaatame, kas leidub meetod predikaatidest rääkimiseks esimese järgu loogika keeles. Kui meil on predikaatide hulk, siis meil on vaja predikaate selle väljendamiseks, et selle hulga elemendid on predikaadid. 

Vaatame võimalusi nende predikaatide kirja panemiseks. Kui x on punane, siis on konventsioon panna see kirja nii Punane(x). Et teha eristus punaste objektide ja punasuse vahel, panen ma selle, kui x on punasus, kirja nii: Punasus(x).

Vaatame nüüd lihtsat näidet. Me saame panna kirja kahekohalise suhte "punasus on vähemalt ühe objekti värv" nii ∃xPunasus(x)∃y→on värv (x, y-i).

Toome nüüd keerukama näite. Välistatud kolmanda seaduse saab kirja panna nii ∀xPredikaat(x)∀y→((on predikaat (x,y-i)∨¬(on predikaat (x,y-i)).

Uskumused selle kohta, mis iseloomustab objekte, millel on nimed, ja intensionaalsed kontekstid

Uskumused selle kohta, mis iseloomustab objekte, millel on nimed, ja intensionaalsed kontekstid

Karmo Talts

 

Tõlgendame nimesid omavate objektidega seotud uskumusi nii: kui keegi usub, et Peeter on pikk, siis ta usub, et nimi Peeter ja predikaat Pikk kuuluvad ühele ja samale inimesele.

Vaatame nüüd Frege mõistatust. Avastus, et Ehatäht on Koidutäht seisneb avastuses, et nimed Ehatäht ja Koidutäht kuuluvad ühele ja samale taevakehale.

Vaatame nüüd väidet „Lois Lane ei usu, et Clark Kent on Superman“. Lois Lane ei usu seda, et nimed Clark Kent ja Superman kuuluvad ühele ja samale inimesele.

Vaatame nüüd maskis mehe mõistatust. Kui Bobi naaber ei tea, kes on maskis mees, siis ta ei tea, et predikaat Maskis mees ja nimi Bob kuuluvad ühele ja samale inimesele. Kuna leidub predikaat, mis kuulub Bobi nimelisele inimesele, millest Bobi naaber ei tea, et see kuulub Bobi nimelisele inimesele, siis on midagi lahti tema uskumusega, et ta teab, kes Bob on..

Vaatame nüüd, mida ta teab. Ta teab, et nimi Bob ja predikaat Tema naaber kuuluvad samale inimesele. Samas ta ei tea, et samale inimesele kuulub predikaat Maskis mees. Seega ei tunne ta Bobi nii hästi, kui ta arvas.

Ebamäärasus ja nähtuvad omadused

Ebamäärasus ja nähtuvad omadused

Karmo Talts 

Vaatame selle üle otsustamist, kas konkreetne inimene on kiilas. Meil pole selle otsuse tegemiseks muid abivahendeid peale selle, kas keegi näib meile kiilas. Seega on kiilasus nähtuv omadus.

Vaatame nüüd nähtuvaid omadusi. Kui nähtuvatele omadustele vastab mingi füüsikaline omadus, siis need, kes kogevad selle füüsikalise omaduse esinemisel sarnast nähtuvat omadust, saavad kokku leppida selles, millistel objektidel nende jaoks see nähtuv omadus on. Kuna kiilasusele ei vasta mingit füüsikalist omadust, siis kiilasusele kas ei vasta mingit omadust, mille esinemisel mingi hulk inimesi kogeks sarnast nähtuvat omadust või see omadus on kultuuriliselt konstrueeritud ja see, kas mingi inimhulga liikmete jaoks näib, et sama juustekarva arvuga inimene on kiilas, sõltub sellest, kas nad on kasvanud kultuuri, kus sellise juustekarva arvuga inimesi kiilaks peetakse.

Loogikatehted rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks

Loogikatehted rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks

Karmo Talts

 

Vaatame tehete sissetoomisreegleid, kirjutades väidete tõeväärtused välja. Ma tähistan kõige kõrgema tõeväärtuse ühe ja kõige madalama tõeväärtuse nulliga.

1P-st ja 1Q-st saab sisse tuua konjunktsiooni 1P ja 1Q. Seega väidab klassikaline konjunktsioon, et mõlemad osaväited omavad kõige kõrgemat tõeväärtust.

1P-st saab sisse tuua disjunktsiooni 1P või 1Q. Seega väidab klassikaline disjunktsioon, et vähemalt üks osaväidetest omab kõige kõrgemat tõeväärtust.

Sõnastame nüüd mitte-klassikalise konjunktsiooni sissetoomisreegli rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks. xP-st ja yQ-st, kus x on P tõeväärtus ja y Q tõeväärtus, saab sisse tuua konjunktsiooni xP ja yQ.

Sõnastame nüüd mitte-klassikalise disjunktsiooni sissetoomisreegli rohkem kui kahe tõeväärtusega loogikate jaoks. xP-st saab sisse tuua disjunktsiooni xP või yQ. 

Vaatame nüüd selle võimalusi sõnastada selle disjunktsiooniga ekvivalentne konditsionaal. Meil pole tehet, mis eitab, et väitel on konkreetne tõeväärtus ja samas ei täpsusta, missugune teine tõeväärtus väitel just on.

Vaatame nüüd, kuidas defineerida sellist tehet. Tehe "tõeväärtus erineb x-ist" muudab väite, mille tõeväärtus on x, vääraks ja väite, mille tõeväärtus on y, kus y ei võrdu x-iga, tõeseks. Kui P tõeväärtus on y ja y ei võrdu x-iga, siis saab sisse tuua tehte P tõeväärtus erineb x-ist.

Sõnastame nüüd disjunktsiooniga xP või yQ-iga ekvivalentse konditsionaali. Kui P tõeväärtus erineb x-ist, siis Q tõeväärtus on y.

 

 

Keel, milles pole hulgateooria sõnavara, ja hulkade moodustamine

Keel, milles pole hulgateooria sõnavara, ja hulkade moodustamine

Karmo Talts 

 

Vaatame keelt, milles ei ole hulgateooria sõnavara. Ma nimetan selle keele keel üheks.

Vaatame nüüd keelt, mis laiendab keel ühe sõnavara hulgateooria sõnavara abil. Selles keeles võib sõnastada hulkade moodustamise põhimõtte: iga predikaadi P puhul, mis on defineeritav keel ühe sõnavara abil, saab moodustada hulga kõigist neist elementidest, millel on predikaat P.

Vaatame nüüd hulki, mis on moodustatud elementidest, millel on keele ühe sõnavara abil defineeritud predikaat P. Need ei ole hulkade hulgad ja nendest hulkade moodustamisel ei teki naiivse hulgateooria paradokse. Seega võib sõnastada hulkade, mis sisaldavad hulki, moodustamise põhimõte: kui hulgad on moodustatud lubatud viisil, siis tohib neist moodustada hulki.

Vaatame nüüd kuidas hulkade moodustamine käib. Meil on meie esimese hulkade moodustamise põhimõtte järgi lubatud moodustada hulki, milles on elemendid, millel on keel ühe sõnavara abil defineeritud predikaat. Kuna meil on nende hulkad moodustamine lubatud, siis on meil meie teise hulkade moodustamise põhimõtte järgi lubatud moodustada neist hulkadest hulkasid. Need on jällegi hulgad, mille moodustamine on lubatud, seega on meil lubatud neist moodustada hulkasid jne.      

Heteroloogilisuse mõiste ja keeletasandid

Heteroloogilisuse mõiste ja keeletasandid

Karmo Talts

 

Vaatame keelt, milles ei ole heteroloogilisuse mõistet. Selle keele metakeeles võib defineerida heterolooglisuse mõiste objektkeele jaoks nii: heteroloogilised on objektkeele mõisted, mis ei käi enda kohta.

Vaatame nüüd selle metakeele metakeelt. Selles on omaenda heteroloogilisuse mõiste, mille alla kuuluvad madalamate tasandite keelte need mõisted, mis ei käi enda kohta. Metakeele heteroloogilisuse mõiste käib objektkeele mõnede mõistete kohta ja seega ei käi enda kohta. Seega käib meta-metakeele heteroloogilisuse mõiste metakeele heteroloogilisuse mõiste kohta.

 

Väidetele viitamine ja väidete erinevad esinemisjuhud ilma koondamiseta loogikas

Väidetele viitamine ja väidete erinevad esinemisjuhud ilma koondamiseta loogikas

Karmo Talts

 

Vaatame väidetel viitamist ilma koondamiseta loogika seisukohast. Kui X viitab Y-ile, siis tuleb teha vahet sellel, millisele Y-i esinemisjuhule X viitab.

Vaatame nüüd võimalust, et meil on eelduste hulk, milles sisaldub X, aga eksplitsiitselt ei sisaldu Y-it. Selles eelduste hulgas puudub väide, millele X viidata saaks.

Vaatame nüüd eelduste hulka, milles sisaldub X ja sisaldub ka Y. Me võime sõnastada nõudmise, et kui X viitab Y-ile, siis X peab täpsustama millisele Y-i esinemisjuhule ta viitab. Aga isegi siis, kui me loeme X-i Y-ile, mis esineb eeldustes viitavaks, siis X viitab Y-ile ainult nendes järeldustes, mis on tautoloogiliselt Y-ist tuletatud, sest teiste järelduste puhul sisaldub eeldustest ja järeldustes erinev Y-i esinemisjuht.

Vaatame nüüd valetaja paradoksi. Kui me eeldame X-i, aga ei eelda X on väär-a, siis puudub eeldustes X on väär-a esinemisjuht, millele X viidata saaks.

Oletame nüüd, et me eeldame nii X-i, kui X on väär-a ja me loeme X-i sellele X on väär-a esinemisjuhule viitavaks. Siis viitab X X on väär-a esinemisjuhule eeldustes ja sellest tulenevates tautoloogilistes järeldustes. 

Vasturääkivuste väärus ja vasturääkivuste plahvatavus

Vasturääkivuste väärus ja vasturääkivuse plahvatavus

Karmo Talts 

 

Vaatame vasturääkivust selle seisukohast, et väärast väitest ei pruugi tuleneda tõeseid järeldusi. Kuigi vasturääkivusest järeldub suvaline järeldus, siis vasturääkivus ise on väär ja seega ei pruugi suvaline järeldus tõene olla.

Vaatame nüüd selle tähendust vasturääkivuse plahvatavuse jaoks. Vasturääkivuse plahvatavus on tühi tõde. 

Järelduse Gödeli numbri sõltuvus eeldustest ja see, et vasturääkivusest tuleneb suvaline järeldus

Järelduse Gödeli numbri sõltuvus eeldustest ja see, et vasturääkivusest tuleneb suvaline järeldus

Karmo Talts 

Vaatame vasturääkuvusest tulenevaid järeldusi. Vasturääkivusest tuleneb suvaline järeldus.

Vaatame nüüd vasturääkivuse ja väidete Gödeli numbrite kohta käivate väidete seost. Vasträäkivusest järeldub, et suvalisel väitel on suvaline Gödeli number.

Vaatame nüüd selle tähendust arusaama jaoks, et kui eeldustest järeldub, et konkreetsel väitel on mingi Gödeli number, siis sõltub järelduse Gödeli number eelduste Gödeli numbrist. See tähendab, et suvaline Gödeli number sõltub vasturääkivuse Gödeli numbrist.

Vaatame nüüd, kas see on nii. Erinevad Gödeli numbrid pole üks ja sama Gödeli number. Seega viib arusaam, et kui eeldustest järeldub, et konkreetsel väitel on mingi Gödeli number, siis sõltub järelduse Gödeli number eelduste Gödeli numbrist, juhul, kui eeldusteks on vasturääkivus ja järelduseks väide, et suvalisel väitel on suvaline Gödeli number, absurdini. 

Sõnastame nüüd piirangu väidetele viitamise meetoditele. Väidetele tohib viidata vaid meetodite abil, mis ei luba seostada suvalisele väitele viitamise vahendit vasturääkivusele viitamise vahendiga. 

  

Täiendav loogikatehe loogikate, mis lubavad väitel olla ei tõesed ega väärad, jaoks

Täiendav loogikatehe loogikate, mis lubavad väitel olla ei tõesed ega väärad, jaoks

Karmo Talts 

 

Vaatame tehte, mis muudab väite, mis pole ei tõene ega väär, tõeseks, ei muuda väära väite tõeväärtust ja muudab tõese väite vääraks, käitumist loogikas, kus on kolm tõeväärtust, tõene, väär ja ei tõene ega väär.  Ma tähistan selle tehte nii / ja tõeväärtuse ei tõene ega väär nii: ½.

P mP /P

T  V  V

½ ½  T

V  T  V

Vaatame nüüd selle tehte suhet predikaadiga Ei tõene ega väär. P on ei tõene ega väär parajasti siis, kui /P.

Tõestus, et X pole väite X on väär nimi

Tõestus, et X pole väite X on väär nimi

Karmo Talts

 

Eeldame, et X on väite Y nimi ja eeldame, et X.

Asendame nime nimetatava väitega. Y.

Toome nüüd sisse konjunktsiooni. X ja Y.

Kasutame nüüd transitiivsust. Kui X on väite Y nimi ja X, siis X ja Y.

Sõnastame nüüd valetajalause. X on X on väär-a nimi.

Eeldame nüüd valetajalauset. X.

Asendame nüüd nime nimetatava väitega. X on väär.

Toome nüüd sisse konjunktsioon. X ja X on väär. See on vasturääkivus

Kasutame nüüd transitiivsust. Kui X on X on väär-a nimi ja X, siis vasturääkivus.

Toome nüüd sisse eituse. Pole nii, et X on X on väär-a nimi ja X.

Sõnastame nüüd ekvivalentse disjunktsiooni. X pole X on väär-a nimi või pole nii, et X.

Sõnastame nüüd ekvivalentse konditsionaali. Kui X, siis X pole X on väära nimi. 

Eeldame nüüd, et X. Järelikult X pole X on väär-a nimi. 

Eeldame nüüd, et X on X on väära nimi ja pole nii, et X. 

Asendame nime nimetatava väitega. X pole väär.

Toome nüüd sisse konjunktsiooni pole nii, et X ja X pole väär. See on vasturääkivus.

Kasutame nüüd transitiivsust. Kui X on X on väära nimi ja pole nii, et X, siis vasturääkivus.

Toome nüüd sisse eituse. Pole nii, et X on X on väära nimi ja pole nii, et X

Sõnastame nüüd ekvivalentse disjunktsiooni. X pole X on väär-a nimi või X.

Sõnastame  nüüd ekvivalesste konditsionaali Kui pole nii, et X, siis X pole X on väära nimi.

Eeldame nüüd, et pole nii, et X. Järelikult X pole X on väära nimi.

Rakendame nüüd välistatud kolmanda seadust. X või pole nii, et X.

Ellimineerime nüüd selle disjunktsiooni. X pole X on väär-a nimi.

Seega X pole X on väär-a nimi.  

Täiendatud tõeskeem ja tugevdatud valetaja paradoks

Täiendatud tõeskeem ja tugevdatud valetaja paradoks

Karmo Talts

 

Sõnastame järgmise tõeskeemi: väite „P on tõene“ tõeväärtus on x parajasti siis, kui P tõeväärtus on x.

Vaatame nüüd tugevdatud valetajalauset. Eeldame, et väite „väide „see väide pole tõene“ on tõene“ tõeväärtus on ei tõene ega väär ja järeldame, et väite „see väide pole tõene“ tõeväärtus on ei tõene ega väär. Asendame nüüd väljendi „see väide“ tugevdatud valetajalausega. Me saame „väite „see väide pole tõene“ pole tõene“ tõeväärtus pole tõene ega väär.

Üle-üldistamise dialektika

Üle-üldistamise dialektika

Karmo Talts

 

Vaatame, kas universaalsete väärade väidete puhul toimub mõnikord midagi, mis meenutab sublanteerumist selles tähenduses, nagu Hegel seda mõistet kasutas. Kui universaalse väite sõnastamiseni on jõutud üle-üldistamise teel, siis see, mida väide väidab iga kõne all oleva objekti kohta, kehtib  mõnede objektide kohta kõne all olevat objektide hulgast.

Vaatame nüüd üle-üldistatud väidete dialektikat lähemalt. Esimene samm on väita, et iga x-i puhul P, teine samm on väita, et pole nii, et iga x-i puhul P ja kolmas samm on väita, et leidub vähemalt üks x, mille puhul P.

Loogika poolt kasutatav keel ja metaloogika

Loogika poolt kasutatav keel ja metaloogika

Karmo Talts

 

Vaatame keelt, mille sõnavara võimaldab rääkida väidete tõeväärtustest. Kui selle keele sõnavara võimaldab rääkida ka sellest, kuidas sõltub järelduste tõeväärtus eelduste tõeväärtusest, siis on tegemist keelega, mida kasutab loogika.

Vaatame nüüd selle tähenduse selle jaoks, mida saab loogika abil käsitleda. Kui loogika poolt kasutatav keel on keele, mille väidete tõeväärtuste vahelistest suhetest räägitakse, metakeel, siis püüe loogika poolt kasutatavat keele abil loogika enda väidetest rääkida tähendab metakeelsete väidete esitamist mitte objektkeele väidete kohta, vaid metakeele enda väidete kohta.

Vaatame nüüd selle tähendust metaloogika jaoks. Metaloogika poolt kasutatava keele sõnavara peab olema rikkam, kui loogika poolt kasutatava keele oma, et võimaldada esitada väiteid loogika poolt kasutatava keele väidete kohta.

Tõe koherentsiteooria ja loogikaseadused

Tõe koherentsiteooria ja loogikaseadused

Karmo Talts

 

Vaatame vasturääkivuse seadust tõe koherentsiteooria seisukohast. Ühe ja sama teooria osaks ei tohi korraga olla väide ja selle sama väite eitus, sest muidu tekib vasturääkivus.

Vaatame nüüd välistatud kolmanda seadust. Väide on kas konkreetse teooriaga kooskõlas või räägib sellele teooriale vastu, kolmandat võimalust pole.

Vaatame nüüd väidete, mis ei ole teooria sõnavara abil sõnastatud, küsimust. Kui väidet võtta laias tähenduses, siis tuleb välja, et tõe koherentsiteooria järgi saab väide olla ei kooskõlas ega rääkida vastu kooskõlalisele teooriale siis, kui see väide pole sõnastatud teooria sõnavara abil. Kui väide, mis on ühe teooria seisukohast on tähenduslik väide, on teise teooria seisukohast tähenduseta sümbolite jada, siis tõe koherentsiteooria seisukohast võib välistatud kolmanda seaduse sõnastada nii: konkreetse teooria sõnavara abil sõnastatud väide on selle teooriaga kooskõlas või räägib sellele teooriale vastu.